ปัญหาพหุนามในชั้นเรียนกราฟที่กำหนดโดย subgraphs วงจรเหนี่ยวนำที่ต้องห้าม

11

Crossposted จากMO

ให้เป็นคลาสกราฟที่กำหนดโดยจำนวน จำกัด ของกราฟย่อยเหนี่ยวนำที่ต้องห้ามซึ่งทั้งหมดเป็นวงจร (ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งรอบ) $C$

มีปัญหากราฟ NP-hard ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับนอกเหนือจากครอบคลุม Clique และ Clique? $C$

ถ้าฉันจำได้ถูกต้องมันเป็นไปไม่ได้สำหรับชุดอิสระ (ยกเว้น ) $P=NP$

ค้นหาใน graphclasses.org ไม่พบสิ่งใด

คลาสที่ Clique และ Clique cover เป็นพหุนามคือC5, C6, X164, X165, sunlet4, แบบสามเหลี่ยม

แก้ไข

เป็นลบสำหรับ IS และ Domination อยู่ในเอกสารนี้ หน้า 2 กราฟ K $S_{i,j,k}$

— Joro
แหล่งที่มา

3

ในสเตฟาน Kratsch ปาสกาล Schweitzer, กราฟมอร์ฟการเรียนกราฟโดดเด่นด้วยสองต้องห้ามชักนำ subgraphs : GI เป็นเวลาพหุนาม (นิด ๆ ) แก้ปัญหาสำหรับ

กราฟ แต่ยัง (น้อยนิด) สำหรับ

กราฟอิสระ

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi

2

อาจเป็นการดีที่สุดที่จะทราบคำถามของ MO การโพสต์ข้ามเช่นกันหากใครมีความสนใจพวกเขาอาจต้องการดูคำตอบ / ความคิดเห็นที่นี่

— RB

1

@MarzioDeBiasi ทำไมไม่เปลี่ยนความคิดเห็นของคุณเพื่อตอบ

— Saeed

14

ฉันคิดว่ามีปัญหายาก ๆ ที่ทำให้กราฟสามเหลี่ยมปราศจากปัญหาง่ายขึ้น โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมเช่น Partition Into Triangles โดยตรง (G มีพาร์ทิชันเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือไม่) ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ อื่น ๆ ได้แก่ :

ปัญหาการตัดที่มีเสถียรภาพ (G มีชุดอิสระ S หรือไม่ซึ่ง GS ถูกตัดการเชื่อมต่อหรือไม่) ดู: บนกราฟที่เสถียรในกราฟ,คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 105 (2000) 39-50
Basis Graph Intersection Basis (G เป็นกราฟตัดของเซตย่อยของชุดดิน k-element หรือไม่) ดู: ปัญหา [GT59] ใน: Garey & Johnson, คอมพิวเตอร์และ Intractability: คำแนะนำเกี่ยวกับทฤษฎีความสมบูรณ์แบบ NP

— จ
แหล่งที่มา

11

นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมสำหรับคำตอบของ Mon Tag:

$G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
การรับรู้กราฟเส้นสามเหลี่ยมคือ NP-complete (ดูที่นี่ ) นอกจากนี้ยังง่ายที่จะเห็นว่าปัญหานี้กลายเป็นพหุนามสำหรับกราฟอินพุตสามเหลี่ยม
การคำนวณการจับคู่ที่เชื่อมต่อสูงสุดนั้นยาก (ดูที่นี่การจับคู่ที่ตรงกันถ้าสำหรับขอบใด ๆ ของคู่ที่ตรงกันนั้น มันสามารถพิสูจน์ได้ว่าปัญหานี้แก้ไขได้สำหรับพหุนาม $(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
แหล่งที่มา

ขอบคุณ. ดังนั้นปัญหาบางอย่างยังคงยากและบางคนก็ไม่ทำ

— joro

10

$(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

$K_{1,t}$

หลังจากคิดเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ดูเหมือนว่าง่ายต่อการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ (ต้นฉบับ?):

$\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่
$G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

นอกจากนี้เรายังสามารถขยายผลลัพธ์เชิงลบไปยังปัญหาวงจร NPC ของแฮมิลตันแน่นอนว่ามันเป็นข้อพิสูจน์ในทันทีต่อไปนี้ (ต้นฉบับ?):

$k \geq 3$ $G$ $\leq k$

$G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ $\geq k$ $G''$ $G$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ผลที่ตามมา:วัฏจักรของ Hamiltonian และปัญหาเส้นทางยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แม้ว่าจะ จำกัด ไว้ที่ กราฟที่ทุกคนมีรอบ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ขอบคุณ. เป็นต้นไม้ดังนั้นมันจึงไม่เป็นวัฏจักรหรือฉันขาดอะไรไป?

K_{1, t}

$K_{1,t}$

— joro

คุณถูก! ฉันมาพร้อมกับผลลบ ... ดูว่ามันสามารถทำงานได้หรือถ้ามันผิดอย่างสมบูรณ์: -S: -S

— Marzio De Biasi

ขอบคุณ ดังนั้นคุณถูกกล่าวหาว่าเป็นผลลบสำหรับวงจร GI และ Hamiltonian

— joro

หวังว่าสิ่งนี้ถูกต้องซึ่งจะช่วยแก้ปัญหา graphclasses.org ที่ไม่เป็นที่รู้จักอย่างมาก

— joro

1

เพียง nitpick แต่ละรอบควรเป็น sthโดยที่เป็นระดับของจุดยอดมิฉะนั้นส่วน iff ของคุณจะไม่ถูกต้อง nesscesarry อาจเป็นเป็น isomorphic แต่ไม่ใช่_2

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

— Saeed

1

MAX-CUT ยังคงเป็น NP-complete

เล็มม่า 3.2การตัดสูงสุดอย่างง่ายคือ NP-complete ในกราฟสองประเภทต่อไปนี้:

กราฟไม่ได้มีวงจรของความยาวที่มากที่สุดสำหรับทุก3 $k$ $k \ge 3$

พวกเขากำลังแบ่งขอบสองครั้ง

จาก "MAX-CUT และการควบคุมความสัมพันธ์ในกราฟ Marcin Kaminski"

— Joro
แหล่งที่มา

1

แต่คุณถามถึงปัญหาที่แก้ไขในเวลาพหุนามใช่ไหม?

— Peng O

@PengO แน่นอน แต่นี่เป็นผลลัพธ์เชิงลบดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเป็นพหุนาม คำตอบก็แสดงผลลัพธ์เชิงลบเช่นกัน

— joro