เหตุใดความเกียจคร้านเสริมจึงสำคัญ?

Compackary Slackness (CS) เป็นวิธีการสอนโดยทั่วไปเมื่อพูดถึงความเป็นคู่ มันสร้างความสัมพันธ์ที่ดีระหว่างข้อ จำกัด แรกและตัวแปร / คู่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์

เหตุผลหลักสองประการสำหรับการใช้ CS (ตามที่สอนในหลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษาและตำราเรียน):

1. เพื่อตรวจสอบ optimality ของ LP
2. เพื่อช่วยแก้ปัญหาทั้งคู่

ด้วยพลังการคำนวณในปัจจุบันและอัลกอริธึมเชิงพหุนามสำหรับการแก้ไข LP นั้น CS ยังมีความเกี่ยวข้องกับมุมมองเชิงปฏิบัติหรือไม่? เราสามารถแก้คู่และหาจุดทั้งสองข้างต้นได้เสมอ ฉันยอมรับว่ามันมี "ประสิทธิภาพมากกว่า" ในการแก้ปัญหาคู่ด้วยความช่วยเหลือของ CS แต่มันคืออะไร? หรือว่า CS มีมากกว่าสายตา? ที่ว่าลูกค้าจะเป็นประโยชน์นอกเหนือจากข้างต้นสองจุด ? ฉันเคยเห็นข้อความที่พูดพาดพิงถึงแนวคิดของ CS เมื่อพูดถึงอัลกอริทึมการประมาณ แต่ฉันไม่เข้าใจบทบาทของมันที่นั่น

ความหย่อนสมบูรณ์เป็นกุญแจสำคัญในการออกแบบอัลกอริธึมแบบสองชั้น แนวคิดพื้นฐานคือ:

1. เริ่มต้นด้วยการที่เป็นไปได้วิธีการแก้ปัญหาคู่Y$y$
2. พยายามค้นหาเป็นไปได้เบื้องต้นซึ่งตามความเฉื่อยชาสมบูรณ์$x$$(x, y)$
3. หากขั้นตอนที่ 2 สำเร็จเราจะทำ มิฉะนั้นสิ่งกีดขวางในการค้นหาให้วิธีแก้ไขเพื่อให้ค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์คู่เพิ่มขึ้น ทำซ้ำ$x$$y$

ตัวอย่างคลาสสิกคืออัลกอริทึมฮังการี อัลกอรึทึมของฟอร์ด - ฟุลเกอร์สันสามารถมองได้ว่าเป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง โปรดทราบว่าขั้นตอนที่ 2 เป็นปัญหาความเป็นไปได้ซึ่งมักจะง่ายกว่าปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพดั้งเดิมและมักจะสามารถแก้ไขได้แบบ combinatorially นี่คือพลังของความเฉื่อยชาเสริม ตัวอย่างเช่นในกรณีของการจับคู่สองฝ่ายต้นทุนต่ำสุดขั้นตอนที่ 2 จะตรวจสอบว่ามีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยใช้ขอบแคบ ๆ เท่านั้น ในกรณีที่สูงสุด -ไหลขั้นตอนที่ 2 จำนวนเงินที่จะตรวจสอบว่าขอบอิ่มตัวแยกและเสื้อ$s$$t$$s$$t$

อัลกอริธึมแบบ Primal-dual นั้นดีด้วยเหตุผลหลายประการ ในเชิงปรัชญาพวกเขาให้ข้อมูลเชิงลึกมากกว่าอัลกอริทึมทั่วไป พวกมันมักให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามอย่างมากในขณะที่เรายังไม่มีตัวแก้พหุนาม LP อย่างยิ่ง พวกมันมักจะมีประโยชน์มากกว่าอัลกอริธึมทั่วไป นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราไม่สามารถเขียน LP อย่างชัดเจนและทางเลือกอื่น ๆ ของเราคืออัลกอริธึมทรงรีซึ่งเป็นกรณีที่มีการจับคู่ที่ไม่ใช่แบบสองฝ่ายและอัลกอริธึมแบบสองเท่าของเอ็ดมันด์

Primal-dual ยังเป็นเฟรมเวิร์กที่มีประโยชน์มากสำหรับอัลกอริทึมการประมาณโดยใช้เวอร์ชันที่ผ่อนคลายของความหย่อน สิ่งนี้มีประโยชน์ในการออกแบบอัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหา NP-hard (ดูบทที่ 7 ของหนังสือWilliamson-Shmoys ) และในการออกแบบอัลกอริทึมออนไลน์ที่มีอัตราส่วนการแข่งขันที่ดี (ดูหนังสือโดย Buchbinder และ Naor ) จุดนี่คือขั้นตอนวิธีการรักษาวิธีการแก้ปัญหาไปที่สองของการผ่อนคลายแผ่นเสียงของปัญหาอย่างหนักและในแต่ละขั้นตอนทั้งพบหนึ่งที่เป็นไปได้ปฐมดังกล่าวว่าประมาณความสะเพร่าเสริมเป็นที่พอใจหรือปรับปรุงวิธีการแก้ปัญหาคู่$y$$x$$y$. ความเกียจคร้านเสริมโดยประมาณเป็นเงื่อนไขของแบบฟอร์มต่อไปนี้: ถ้าแล้วที่สอดคล้อง จำกัด คู่แน่นและถ้าที่สอดคล้อง จำกัด ครั้งแรกจะแน่นถ้ามีการปรับสัดส่วนโดย\นี้จะช่วยให้เป็นปัจจัยประมาณ\มันอธิบายได้ดีมากในสองแหล่งข้างต้น$x_i > 0$$y_j > 0$$x$$\alpha$$\alpha$