อัลกอริทึมพหุนามที่ง่ายที่สุดสำหรับ PLANARITY คืออะไร

มีอัลกอริธึมหลายอย่างที่ตัดสินใจในเวลาพหุนามว่าสามารถวาดกราฟในระนาบได้หรือไม่แม้กระทั่งกับการวิ่งเชิงเส้น อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาอัลกอริทึมที่ง่ายมากที่สามารถอธิบายได้อย่างง่ายดายและรวดเร็วในชั้นเรียนและจะแสดงให้เห็นว่า PLANARITY อยู่ใน P คุณรู้หรือไม่?

หากจำเป็นคุณสามารถใช้ทฤษฏีของ Kuratowski หรือ Fary แต่ไม่มีเนื้อหาลึกซึ้งเช่นทฤษฎีบทกราฟเล็กน้อย นอกจากนี้โปรดทราบว่าฉันไม่สนใจเวลาทำงานฉันแค่อยากได้พหุนาม

ด้านล่างนี้เป็นอัลกอริธึมที่ดีที่สุด 3 ข้อซึ่งแสดงให้เห็นถึงการแลกเปลี่ยนที่ไม่ซับซ้อนและไม่ซับซ้อน

อัลกอริทึม 1: การใช้ที่เราสามารถตรวจสอบว่ากราฟมี$K_5$หรือ$K_{3,3}$เป็นพหุนามในเวลาพหุนามเราได้อัลกอริทึมที่ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีเชิงลึก (โปรดสังเกตว่าทฤษฎีนี้ใช้กราฟงานแต่งงานแล้วตามที่ระบุโดย Saeed ดังนั้นนี่ไม่ใช่วิธีอัลกอริทึมที่แท้จริงเพียงบางสิ่งที่ง่ายต่อการบอกนักเรียนที่รู้ / ยอมรับทฤษฎีบทกราฟย่อยแล้ว)

อัลกอริทึม 2 [ขึ้นอยู่กับคำตอบของใครบางคน]: มันง่ายที่จะเห็นว่ามันเพียงพอที่จะจัดการกับกราฟที่เชื่อมต่อ 3 ตัว สำหรับสิ่งเหล่านี้ค้นหาใบหน้าแล้วใช้ทฤษฎีบทสปริงของ Tutte

อัลกอริทึม 3 [แนะนำโดย Juho]: อัลกอริทึม Demoucron, Malgrange และ Pertuiset (DMP) วาดรอบองค์ประกอบของกราฟที่เหลือเรียกว่าชิ้นส่วนเราฝังไว้ในวิธีที่เหมาะสม (ในขณะเดียวกันก็สร้างชิ้นส่วนใหม่) วิธีนี้ไม่ใช้ทฤษฎีบทอื่น

ฉันจะอธิบายขั้นตอนวิธี ฉันไม่แน่ใจว่ามันมีคุณสมบัติเป็น "ง่าย" และการพิสูจน์บางอย่างไม่ใช่เรื่องง่าย

ก่อนอื่นเราแบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนที่เชื่อมต่อกันดังที่ Chandra Chekuri กล่าวถึง

1. แบ่งกราฟออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ
2. แบ่งแต่ละองค์ประกอบที่เชื่อมต่อออกเป็น 2 ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ สิ่งนี้สามารถทำได้ในการตรวจสอบเวลาพหุนามสำหรับแต่ละจุดยอดของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ 2 แต่ละG iว่าG i - vเชื่อมต่อหรือไม่$v$$G_i$$G_i-v$
3. แยกส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ 2 ชิ้นออกเป็น 3 ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ สิ่งนี้สามารถทำได้ในการตรวจสอบเวลาพหุนามสำหรับจุดยอดที่แตกต่างกันสองจุดขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อ 2 แต่ละอันG iว่าG i - { v , u }เชื่อมต่อกันหรือไม่$v,u$$G_i$$G_i-\{ v,u \}$

เราได้ลดปัญหาในการตรวจสอบว่าองค์ประกอบที่เชื่อมต่อ 3 รายการของกราฟเป็นภาพถ่ายหรือไม่ ให้แทนองค์ประกอบที่เชื่อมต่อ 3$G$

1. ใช้วงจรใด ๆของG$C$$G$
2. ตรึงจุดยอดของเป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมนูน วางแต่ละจุดยอดอื่น ๆ ใน barycenter ของเพื่อนบ้าน สิ่งนี้นำไปสู่ระบบสมการเชิงเส้นที่บอกพิกัดของแต่ละจุดยอด ให้Dเป็นรูปวาดที่เกิดขึ้น มันอาจมีวก$C$$D$
3. ถ้าไม่มีการวกเราจะเสร็จสิ้น$D$
4. ใช้จุดในองค์ประกอบที่เชื่อมต่อใด ๆ ของG - V ( C ) ข้อ จำกัด ของDต่อกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำให้เกิดG [ U ∪ V ( C ) ]ควรเป็นภาพถ่าย มิฉะนั้นGไม่ใช่ภาพถ่าย ใช้หน้าใด ๆFในภาพวาดDจำกัด ให้ subgraph เหนี่ยวนำให้เกิดG [ U ∪ V ( C ) ]และให้C 'เป็นวงจรการกำหนดเรนไฮน์ ถ้า$U$$G-V(C)$$D$$G[U\cup V(C)]$$G$$F$$D$$G[U\cup V(C)]$$C'$$F$$G$คือระนาบแล้วต้องเป็นวัฏจักรใบหน้า (เมื่อCเป็นวัฏจักร Hamiltonian ดังนั้นC ′ควรสร้างโดยใช้ edge)$C'$$C$$C'$
5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 ด้วย C 'แทน C หากรูปวาดที่ได้คือ planar ดังนั้นคือ planar อื่นGไม่ใช่ภาพถ่าย$G$$G$

หมายเหตุ:

• การถกเถียงว่าการฝังสปริงของ Tutte ทำให้การฝังภาพถ่ายไม่ตรงไปตรงมา ฉันชอบการนำเสนอในหนังสือของ Edelsbrunner และ Harer, Topology Computational แต่มันก็มีไว้สำหรับ triangulations เท่านั้น Colin de Verdiere กล่าวถึงการฝังสปริงในhttp://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo-graphs-surfaces.pdfส่วนที่ 1.4 ข้อมูลอ้างอิงทั่วไปคือ Linial, Lovász, Wigderson: วงยาง, งานแต่งงานแบบนูนและการเชื่อมต่อกราฟ Combinatorica 8 (1): 91-102 (1988)
• การแก้ระบบสมการเชิงเส้นในจำนวนโพลีโอเมียลของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่ายผ่านการกำจัดแบบเกาส์เซียน การแก้โดยใช้จำนวนบิตแบบหลายส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

อัลกอริทึมของ Boyer และ Myrvold ได้รับการพิจารณาในขั้นตอนวิธีการทดสอบภาพถ่ายแนวราบ

บนขอบตัด: ประยุกต์ O (n) Planarity ตามการเพิ่มขอบโดย Boyer และ Myrvold

นี้หนังสือบทสำรวจหลาย planarity ทดสอบขั้นตอนวิธีการและหวังว่าคุณจะพบว่าขั้นตอนวิธีการง่ายพอ

แล้วอัลกอริทึมของ Hopcroft และ Tarjan ของปี 1974 {1}ล่ะ

{1} Hopcroft, John และ Robert Tarjan "การทดสอบระนาบที่มีประสิทธิภาพ" วารสาร ACM (JACM) 21.4 (1974): 549-568

สองอัลกอริทึมทั้งใน LogSpace

1. Eric Allender และ Meena Mahajan - ความซับซ้อนของการทดสอบระนาบ
2. Samir Datta และ Gautam Prakriya - การทดสอบ Planarity มาเยือน

ที่สองง่ายกว่าครั้งแรกมาก