คลาสสูงสุดที่ชุดอิสระที่ใหญ่ที่สุดสามารถพบได้ในเวลาพหุนาม

ISGCIรายการกว่า 1,100 ชั้นเรียนของกราฟ สำหรับหลายสิ่งเหล่านี้เรารู้ว่าการตัดสินใจของอิสระสามารถตัดสินใจได้ในเวลาพหุนาม เหล่านี้บางครั้งเรียกว่าการเรียนเป็นง่าย ฉันต้องการที่จะรวบรวมรายชื่อของสูงสุด IS-ง่ายเรียน คลาสเหล่านี้รวมกันเป็นขอบเขตของ

เนื่องจากเราสามารถเพิ่มกราฟจำนวน จำกัด ลงในคลาส IS-easy ที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่มีผลกระทบต่อการจัดการระบบได้จึงมีข้อ จำกัด บางประการ ลอง จำกัด คลาสให้อยู่ในกลุ่มที่มีการถ่ายทอดทางพันธุกรรม (ปิดภายใต้การใช้ subgraphs ที่เหนี่ยวนำหรือเท่าเทียมกันที่กำหนดโดยชุดของกราฟย่อยย่อย induced ที่แยกออก) ยิ่งกว่านั้นให้พิจารณาเฉพาะตระกูลที่ปราศจาก X สำหรับเซต X พร้อมคำอธิบายเล็ก ๆ มีอาจจะ มียังเป็นโซ่จากน้อยไปมากไม่มีที่สิ้นสุดของการเรียนเวไนย (เช่นฟรีและการเรียนการอธิบายโดยเดวิด Eppstein ด้านล่าง) แต่ขอ จำกัด การให้ความสนใจกับการเรียนว่า ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นเรื่องง่าย$(P,\text{star}_{1,2,k})$

นี่คือสิ่งที่ฉันรู้:

• กราฟที่สมบูรณ์แบบ
• $(P,\text{star}_{1,2,5})$ - ฟรี
• $(K_{3,3}-e, P_5)$ - ฟรี
• ร่วม Meyniel
• เกือบสองฝ่าย
• เก้าอี้ฟรี
• ( , คริกเก็ต) ฟรี$P_5$
• $(P_5,K_{n,n})$ - ฟรี (สำหรับการแก้ไข )$n$
• $(P_5, X_{82}, X_{83})$ฟรี

เป็นที่รู้จักกันในชั้นเรียนสูงสุดอื่น ๆ ?

แก้ไข:ดูคำถามที่เกี่ยวข้องที่ถามโดย Yaroslav Bulatov เกี่ยวกับชั้นเรียนที่กำหนดโดยผู้เยาว์ที่ไม่รวมสิ่งที่ง่ายสำหรับกราฟที่แยกออกจากกัน และเห็นคุณสมบัติระดับโลกของชั้นเรียนทางพันธุกรรม? สำหรับคำถามทั่วไปเพิ่มเติมฉันถามก่อนหน้านี้เกี่ยวกับชั้นเรียนทางพันธุกรรม

ตามที่ Jukka Suomela ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นกรณีที่ถูกแยกออกเล็กน้อยก็น่าสนใจเช่นกัน (และจะทำให้คำถามที่น่าสนใจ) แต่นี่ไม่ใช่จุดสนใจที่นี่

เพื่อหลีกเลี่ยงตัวอย่างของเดวิดคลาสสูงสุดควรเป็นกราฟที่ปราศจาก X ซึ่งไม่ใช่กราฟทุกจุดใน X ที่มีจุดยอดอิสระ

ชั้นเรียนให้คำตอบด้านล่าง:

• แอปเปิ้ลฟรี (แนะนำโดย Standa Živný)
• (บ้าน) ฟรี$P_5$ (แนะนำโดย David Eppstein)
• (เล็บก้าม) ฟรี$K_2 \cup$ (แนะนำโดย David Eppstein)

เพิ่ม 2013-10-09:ผลลัพธ์ล่าสุดโดย Lokshtanov, Vatshelle และ Villanger ที่ถูกกล่าวถึงโดย Martin Vatshelle ในคำตอบนั้นแทนที่บางส่วนของคลาสสูงสุดที่รู้จักกันก่อนหน้านี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - ฟรีเป็นเรื่องย่อยง่าย ๆ ( , คริกเก็ต) - ฟรี, ( , ) - ฟรี, ( , , ) - ฟรีและ (บ้าน) - ฟรีทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายP 5 P 5 K n , n P 5 X 82 X 83 P $P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

ซึ่งหมายความว่าคลาสกราฟทางพันธุกรรมทั้งหมดที่กำหนดโดยกราฟย่อยเหนี่ยวนำที่ต้องห้ามหนึ่งตัวที่มีจุดยอดสูงสุดห้าอันสามารถจำแนกได้อย่างชัดเจนว่าเป็นแบบง่ายหรือไม่ง่าย

น่าเสียดายที่หลักฐานที่แสดงว่ากราฟฟรีในรูปแบบ IS-easy นั้นดูเหมือนว่าจะไม่สามารถใช้กับกราฟฟรีดังนั้นเขตแดนถัดไปคือการจำแนกคลาสกราฟทางพันธุกรรมทั้งหมดที่กำหนดโดยกราฟหกจุดยอดเดียวP $P_5$$P_6$

ฉันยังคงสนใจคลาส IS ง่าย ๆ ในรูปแบบ -free สำหรับคอลเลคชั่นของกราฟที่มีคลาส isomorphism มากมายมากมาย แต่ที่ฟรีนั้นไม่ง่ายสำหรับใด ๆX Y Y ⊂ $X$$X$$Y$$Y \subset X$

คำถามนั้นเก่าไปนิดหน่อย แต่ ISGCI สามารถให้ความช่วยเหลือได้บ้าง

เมื่อคุณเริ่มต้นแอปพลิเคชัน ISGCI Java และไปที่เมนูปัญหา -> ขอบเขต / เปิดคลาส -> ชุดอิสระคุณจะได้รับกล่องโต้ตอบ 3 รายการ

รายการ Maximal P มีคลาสทั้งหมด C (ใน ISGCI) ซึ่ง IS สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามว่ามีซูเปอร์คลาสน้อยที่สุดของ C ซึ่ง IS นั้นไม่ทราบว่าอยู่ใน P (เช่น NP-complete, open หรือ ISGCI ไม่รู้จัก) การเลือกคลาสและการคลิก 'วาด' จะวาดคลาสและซูเปอร์คลาสที่พบโดยการเดินสไตล์ BFS ตามลำดับชั้นการรวมเท่าที่จำเป็นเพื่อค้นหาคลาสที่ IS ไม่ทราบว่าอยู่ใน P

รายการ Minimal NP-complete ไปทางอื่น ๆ : มันมีคลาสที่ IS คือ NP-complete ซึ่งไม่ใช่คลาสย่อยสูงสุดทั้งหมดที่เป็น NP-complete การวาดลงไปในลำดับชั้นจนกระทั่งพบคลาสที่ไม่สมบูรณ์

รายการเปิดประกอบด้วยคลาสที่ปัญหาเปิดหรือไม่รู้จัก การวาดภาพเดินข้ามซูเปอร์ / คลาสย่อยจนกว่าจะถึงคลาสที่ไม่ได้เปิด

เมื่อสร้างภาพวาดเป็นความคิดที่ดีที่จะกำหนดสีเป็นปัญหาชุดอิสระ (ปัญหา -> สีสำหรับปัญหา -> ชุดอิสระ)

ด้วยความคำนึงถึงคำถามของ Standa Zivny, 20 คลาสต่อไปนี้มีการระบุไว้ใน ISGCI พร้อมกับความซับซ้อนที่เป็นที่รู้จักสำหรับปัญหา IS ที่ไม่ถ่วง แต่มีความซับซ้อนที่ไม่ทราบสำหรับกรณีที่มีน้ำหนัก (ISGCI ไม่สามารถแยกแยะระหว่าง

gc_11 ส่วนขยาย P ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 ครอบคลุมอย่างดี
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ ) - ฟรี
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) - ฟรี
gc_752 ผู้ร่วมทางพันธุกรรม - Helly
gc_756 (E, P) - ฟรี
gc_757 (P, T ₂ ) - ฟรี
gc_758 (P, P ₈ ) - ฟรี
gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ ) - ฟรี
gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) - ฟรี
gc_811 (P, ดาว_1,2,5 ) - ฟรี
gc_812 (P ₅ , P ₂ ∪ P ₃ ) - ฟรี
gc_813 (P, P ₇ ) - ฟรี
gc_818 (P, ดาว_1,2,3 ) - ฟรี
gc_819 (P, ดาว_{1, 2,4} ) - ฟรี
gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3 -e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , เสาอากาศ, co-antenna, co-domino, co-fish, co-twin-house, domino, ปลา, บ้านแฝด) - ฟรี
gc_894 วงกลมที่สมบูรณ์แบบร่วมกัน
gc_895 วงกลมที่สมบูรณ์แบบสมบูรณ์แบบ
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ P ₄ , สุทธิ) ฟรี

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าจำนวนเหล่านี้จะมีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับเคสที่มีน้ำหนักเช่นกัน ยินดีต้อนรับการเพิ่มและการแก้ไขตามที่อยู่ที่ให้ไว้ในหน้าเว็บของ ISGCI!

กระดาษที่น่าสนใจที่ควรดู:

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca: ชุดอิสระของน้ำหนักสูงสุดในกราฟฟรีของ Apple, วารสารสยามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 24 (1) (2010) 239–254 ดอย: 10.1137 / 090750822

คลาสที่ไม่มีที่สิ้นสุดของแอปเปิ้ลถูกกำหนดเป็นรอบ C_k, k> = 5 แต่ละอันมีก้าน

คุณไม่ได้พูดถึงว่าแนวคิดเรื่องความง่ายในการใช้งานของคุณนั้นรวมถึงปัญหาของน้ำหนักตัวหรือไม่ กราฟที่ปราศจากเก้าอี้ (กราฟที่ไม่มีทางแยก) เป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นเรื่องง่าย:

VE Alekseev อัลกอริทึมพหุนามในการค้นหาชุดอิสระที่ใหญ่ที่สุดในกราฟที่ไม่มีส้อม, คณิตศาสตร์ประยุกต์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 135 (1-3) (2004) 3–16 ดอย: 10.1016 / S0166-218X (02) 00290-1

ความสามารถในการรองรับของกรณีน้ำหนักเป็นส่วนขยายที่ไม่สำคัญดู:

VV Lozin, M. Milanic: อัลกอริทึมพหุนามเพื่อค้นหาชุดน้ำหนักอิสระสูงสุดในกราฟแยกอิสระวารสาร Journal of Discrete Algorithms 6 (4) (2008) 595–604 ดอย: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

มีคลาสอื่น ๆ (น่าสนใจ) ที่ปัญหา IS ที่ถ่วงน้ำหนักนั้นยากกว่า / ยากลำบาก / เปิดยากกว่ากรณีที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนักหรือไม่?

อ้างอิงจากส Vassilis Giakoumakis และ Irena Rusu, Disc Appl คณิตศาสตร์. 1997ที่(P5 บ้าน) กราฟฟรี (aka (P5, coP5) กราฟฟรี) เป็น IS-ง่าย

อีกคนหนึ่งให้เครดิตโดย ISGCI ถึง V. Lozin, R. Mosca Disc Appl คณิตศาสตร์. 2005เป็นครอบครัว(K2 ยูกรงเล็บ) ปราศจากกราฟ

นอกจากนี้ยังอาจมีห่วงโซ่จากน้อยไปหามากของชั้นเรียนเวไนย

มีโซ่ขึ้นไปไม่ จำกัด แน่นอน หาก H เป็นชุดของกราฟที่ไม่มีขอบเขตซึ่งกราฟ H-free นั้นง่ายต่อการปล่อยให้ H 'เป็นกราฟที่สร้างจุดยอดอิสระให้กับกราฟแต่ละกราฟใน H จากนั้นกราฟ H'-free ก็ง่ายเช่นกัน เพียงแค่ใช้อัลกอริทึม H-free กับชุดที่ไม่ใช่เพื่อนบ้านของแต่ละจุดยอด ตัวอย่างเช่นตามที่อธิบายไว้ใน ISGCI กราฟที่ปราศจากอัญมณีเป็นเรื่องง่ายสำหรับเหตุผลที่ Co-gem เป็น P4 รวมถึงจุดสุดยอดอิสระและกราฟที่ปราศจาก P4 นั้นง่ายมาก ดังนั้นคุณอาจต้องการ จำกัด คำถามของคุณไปยังคลาสสูงสุดซึ่งไม่ใช่กราฟย่อยที่ต้องห้ามทั้งหมดที่มีจุดสุดยอดที่เป็นอิสระ

$P_5$

ให้ H เป็นกราฟบนจุดสูงสุด 5 จุดจากนั้นความซับซ้อนของชุดอิสระเป็นที่รู้จักในชั้นเรียนของกราฟที่ไม่มี H

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$