การสับโทเค็นบนกราฟโดยใช้การแลกเปลี่ยนในเครื่อง

ให้เป็นกราฟเชื่อมต่อที่ไม่ปกติซึ่งมีขอบเขตถูก จำกัด ขอบเขต สมมติว่าแต่ละโหนดมีโทเค็นที่ไม่ซ้ำกัน $G= (V, E)$

ฉันต้องการสลับโทเค็นให้เหมือนกันในกราฟโดยใช้การแลกเปลี่ยนเฉพาะที่ (เช่นการแลกเปลี่ยนโทเค็นระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกัน) มีขอบเขตที่ต่ำกว่าที่ทราบสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

ความคิดเดียวที่ฉันมีคือการใช้ผลการเดินแบบสุ่มจากนั้นเพื่อดูว่าฉันต้อง "จำลอง" ผลของการเดินแบบสุ่มเพื่อส่งสัญญาณโทเค็นบนกราฟ

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
แหล่งที่มา

ขอบเขตล่างแบบไหนที่คุณกำลังมองหา จำนวนรวมของการแลกเปลี่ยน? จำนวนรอบขนาน (เช่นใน 1 ขั้นตอนคุณสามารถสลับไปตามขอบทั้งหมดของการจับคู่ใน )? ขอบเขตล่างเป็นฟังก์ชันของ, ? โหนดทั้งหมดทราบโครงสร้างของ (และสามารถปรับพฤติกรรมของพวกเขาให้สอดคล้องกัน) หรือคุณกำลังมองหากลยุทธ์ที่แน่นอนที่คุณสามารถนำไปใช้ในกราฟใด ๆ ได้หรือไม่?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

ฉันควรจะเจาะจงมากขึ้นขอโทษ เป้าหมายคือการออกแบบวิธีการเผยแพร่ข้อมูลสำหรับเครือข่ายเซ็นเซอร์ที่หลีกเลี่ยงปัญหาของวิธีการเดินแบบสุ่ม (โดยการสูญเสียข้อมูลเนื่องจากโทเค็นหลายตัวชนกันที่โหนดเดียวกัน) ดังนั้นฉันจึงสนใจจำนวนรวมของการแลกเปลี่ยน (ซึ่งจะทำให้จำนวนข้อความหมุนเวียนในเครือข่าย) และจำนวนรอบ (เพื่อให้มีการประมาณคร่าวๆของเวลาการลู่เข้า) LB เป็นฟังก์ชั่นของได้ดีและโหนดไม่ได้รับรู้ทอพอโลยี (น่าเสียดาย)

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

คำตอบ:

สมมติว่ากราฟของคุณเป็นเส้นทาง ฉันคิดว่าปัญหานี้จะเทียบเท่ากับการเรียงลำดับของตัวเลขสุ่มในอาเรย์โดยการสลับรายการที่อยู่ติดกัน แม้โหนดทั้งหมดจะทราบถึงทอปอโลยีคุณจะได้รับขอบเขต ^ 2 ที่ต่ำกว่าในจำนวนของการสลับ (ไม่สามารถทำได้ดีกว่าการเรียงลำดับของฟองซึ่งเป็น n ^ 2 แม้ในการสุ่มอินพุต)

— Lev Reyzin
แหล่งที่มา

ในกรณีของเส้นทางกระบวนการแลกเปลี่ยนกับความน่าจะเป็น 1/2 ผสมในสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Benjamini, Berger และ Hoffman (นี่เป็นการคาดเดาโดย Diaconis และ Ram) ดังนั้น LB ของฉันยังเป็นฟังก์ชั่นของการศึกษาระดับปริญญาผมคิดว่า ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet

LB ตัวนี้บอกว่าคุณไม่สามารถปรับปรุงอัลกอริทึมได้แม้ว่าคุณจะสามารถเลือก swaps ของคุณได้ .... แต่ใช่มั้ยฉันเดาว่าปัญหาอาจจะง่ายขึ้นเมื่อระดับ (เฉลี่ย?) สูงขึ้น

— Lev Reyzin

ฉันจะกำหนดตารางเวลาการจำลองเพื่อดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อระดับเพิ่มขึ้น

— Sylvain Peyronnet

ที่จริงแล้วดูเหมือนว่า LB นี้ (ด้วยการดัดแปลงบางอย่าง) จะเก็บไว้แม้ว่าปลายทั้งสองของเส้นทางจะมีกลุ่มใหญ่ - ใน 2 กลุ่มบน n / 4 ที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางของโหนด n / 2 ทีนี้ระดับเฉลี่ยคือ O (n) แต่คุณก็ยังเอาชนะไม่ได้ n ^ 2 บางทีเราจำเป็นต้องกำหนดระดับต่ำสุดหรือไม่?

— Lev Reyzin

ใช่เราต้องการระดับขั้นต่ำ :(

— Sylvain Peyronnet

ฉันต้องการชี้ให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างปัญหานี้กับเครือข่ายการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่นหากกราฟของคุณเป็นเส้นทางเครือข่ายการจัดเรียงเชิงลึกเชิงเส้นเล็กน้อยก็แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถได้รับการเปลี่ยนแปลงในจำนวนเชิงเส้นของรอบ ยิ่งไปกว่านั้นสิ่งนี้ยังแน่นอยู่เพียงแค่การสับเปลี่ยนองค์ประกอบที่จุดสิ้นสุดของเส้นทางต้องมีจำนวนรอบเป็นเส้นตรง

เครือข่ายการเรียงลำดับของ AKS แสดงให้เห็นว่ามีกราฟที่คุณสามารถรับการเปลี่ยนแปลงในจำนวนรอบลอการิทึม สำหรับกรณีของกราฟตารางให้ดูเช่นบันทึกการบรรยายเหล่านี้

(แน่นอนว่าการเรียงลำดับและการสับเป็นปัญหาที่แตกต่างกัน แต่มีขอบเขตบนและล่างที่เกี่ยวข้องมากมายเช่นเลือกป้ายกำกับแบบสุ่มและเรียงตามป้ายกำกับ)

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับตัวชี้ ฉันจะขุดในทิศทางนี้บางทีมันอาจไม่ใช่สิ่งที่ฉันต้องการที่นี่ (ฉันไม่แน่ใจว่าฉันมีกราฟชนิดที่ดี) แต่มันจะเป็นสิ่งที่ฉันจะใช้ไม่ช้าก็เร็ว!

— Sylvain Peyronnet