การค้นหาเวกเตอร์ที่คล้ายกันในเวลา subquadratic

ปล่อย $d:\{0,1\}^k\times \{0,1\}^k \to \mathbb{R}$เป็นหน้าที่ที่เราจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชั่นที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างของฟังก์ชันความคล้ายคลึงกันคือระยะทางโคไซน์$l_2$ norm, ระยะทาง hamming, ความคล้ายคลึงกันของ Jaccard, ฯลฯ

พิจารณา $n$ เวกเตอร์ไบนารีของความยาว $k$: $\vec{v} \in (\{0,1\}^k)^n$.

เป้าหมายของเราคือการจัดกลุ่มเวกเตอร์ที่คล้ายกัน ยิ่งกว่านั้นอย่างเป็นทางการเราต้องการคำนวณกราฟความเหมือนกันซึ่งโหนดเป็นเวกเตอร์และขอบแสดงเวกเตอร์ที่คล้ายกัน ($d(v,u) \leq \epsilon$)

$n$ และ $k$ มีจำนวนมากและเปรียบเทียบสองความยาว $k$ เวกเตอร์มีราคาแพงเราไม่สามารถทำกำลังดุร้ายทั้งหมดได้ $O(n^2)$การดำเนินงาน เราต้องการคำนวณกราฟความเหมือนกันด้วยการทำงานที่น้อยลงอย่างมาก

เป็นไปได้ไหม หากเราไม่สามารถคำนวณการประมาณกราฟที่มีขอบทั้งหมดในกราฟความเหมือนกันและอาจมากที่สุด$O(1)$ ขอบอื่น ๆ

อาจมีวิธีที่จะทำให้เขาเข้าใจทฤษฎีบทของจอห์นสัน โดยพื้นฐานแล้ว JL ระบุว่าคุณสามารถฉายข้อมูลมิติสูงลงในช่องว่างมิติด้านล่างในลักษณะที่ระยะทางคู่จะถูกเก็บรักษาไว้เกือบ ในทางปฏิบัติแล้ว Achlioptas มีเอกสารที่เรียกว่าการสุ่มแบบเป็นมิตรกับฐานข้อมูล: Johnson-Lindenstrauss ด้วยเหรียญไบนารี่ที่ฉายภาพแบบสุ่มซึ่งใช้งานได้ดีในทางปฏิบัติ

ตอนนี้ฟังก์ชั่นความคล้ายคลึงกันของคุณไม่เหมือนกับสิ่งที่ตรงกับทฤษฎีบทของ JL อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าฟังก์ชันระยะทางและบางทีทฤษฎีบางอย่างด้านบนอาจช่วยได้