เกมจ้างเลขานุการ

นี้เป็นส่วนขยายของคลาสสิกปัญหาเลขานุการ

ในเกมการจ้างงานคุณมีชุดของผู้สมัคร$\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$และเรียงลำดับความสามารถของผู้ปฏิบัติงานแต่ละคน

Wlog เราคิดว่ามีฝีมือดีที่สุดตามด้วยเป็นต้น$c_1$$c_2$

ลำดับของการสัมภาษณ์ผู้สมัครถูกสุ่มอย่างสม่ำเสมอและเป็นที่รู้จัก (อย่างชัดเจน) กับนายจ้าง

ตอนนี้สมมติว่าคุณมีตลาดกับผู้ว่าจ้าง 2 ราย ในทุก ๆ รอบผู้สมัครใหม่กำลังสัมภาษณ์ทั้งสอง บริษัท (เรียกพวกเขาว่า ) ระหว่างการสัมภาษณ์ทั้งและสังเกตการเรียงลำดับบางส่วนของผู้สมัครที่ผ่านมาทั้งหมดรวมถึงผู้ให้สัมภาษณ์ปัจจุบัน บริษัท ต่างๆ (อิสระ) ตัดสินใจว่าจะจ้างผู้สมัครในวันนี้หรือไม่$A,B$$A$$B$

น่าเสียดายสำหรับมันไม่สามารถแข่งขันทางการเงินกับข้อเสนอของดังนั้นหากทั้งคู่ขยายข้อเสนอสำหรับคนงานจะได้รับความพึงพอใจ$B$$A$$A$

นอกจากนี้เมื่อสัญญาณเลขานุการ บริษัท อาจจะไม่สัมภาษณ์ผู้สมัครใด ๆ เพิ่มเติมและคู่แข่งทราบถึงการลงนามในสัญญา

เป้าหมายของแต่ละ บริษัท คือการจ้างผู้สมัครที่มีทักษะดีกว่า (ตรงข้ามกับปัญหาแบบคลาสสิกที่ บริษัท เดียวต้องการหาเลขานุการที่ดีที่สุด) เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่า บริษัท ที่มีเลขานุการที่ดีกว่านั้น ตลาด.

เป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุดในขณะที่ บริษัท ขนาดใหญ่ (สิ่ง)?$A$

แล้ว บริษัท ขนาดเล็ก ( ) ล่ะ?$B$

ถ้าทั้งสอง บริษัท เล่นกลยุทธ์ดุลยภาพความน่าจะเป็นคืออะไรที่จะทำให้พนักงานดีขึ้น?$B$

---

ในงานที่เกี่ยวข้อง Kalai และคณะ กล่าวถึงเวอร์ชันสมมาตรของปัญหานี้ซึ่งทั้งสอง บริษัท มีอำนาจเท่ากันในการดึงดูดผู้สมัคร

ในการตั้งค่านี้ความเรียบง่าย (สมมาตร) คือการที่คุณจ้างเลขานุการถ้าโอกาสของเธอดีกว่าผู้สมัครที่เหลืออยู่อย่างน้อย 50%

ผลลัพธ์นี้เปลี่ยนแปลงในการตั้งค่าของเราอย่างไร

สำหรับ บริษัท $A$/ บริษัท / บริษัท ยักษ์ / "ยาใหญ่" / "THE MAN" กลยุทธ์ไม่เปลี่ยนจากเวอร์ชันสมมาตร:

พิจารณารอบที่ความน่าจะเป็นที่จะเห็นผู้สมัครน้อยลงหลังจากนั้นคือ $> .5$. หาก บริษัท$A$ ทำให้ผู้สมัครนั้นมีโอกาสชนะ $> .5$. ถ้า$A$ ไม่ได้รักษาผู้สมัครจากนั้นจึงเป็น บริษัท $B$ สามารถจ้างผู้สมัครและ บริษัท $A$ มีโอกาสชนะ $< .5$. ดังนั้นแน่นอน บริษัท$A$ จะจ้าง (และ บริษัท $B$ จะพยายามจ้าง) ในสถานการณ์นี้

สำหรับผู้สมัครที่มีอัตราต่อรองที่ชนะแน่นอน $.5$, $A$ อาจหรือไม่เลือกที่จะจ้าง แต่ $B$ จะเลือกจ้างเพราะ $B$ จะไม่มีทางได้ดีกว่า $.5$.

หาก บริษัท $A$ จ้างก่อนที่จะเห็นผู้สมัครที่มีโอกาสชนะ $>= .5$แล้วโอกาสของผู้สมัครที่ดีกว่าที่มีอยู่ในอนาคต (และด้วยเหตุนี้ $B$ ชนะ) จะเป็น $> .5$. ดังนั้น$A$ จะไม่จ้างจนกว่าจะเห็นผู้สมัครที่มีโอกาสชนะ $>= .5$.

ดังนั้น, $A$กลยุทธ์ของเช่นเดียวกับกรณีสมมาตร: จ้างผู้สมัครคนแรกที่ให้อัตราต่อรองที่ชนะ $> .5$.

$B$กลยุทธ์ของมันจึงถูกสร้างขึ้นด้วย $A$กลยุทธ์ในใจ เห็นได้ชัดว่าถ้า$A$ ได้รับการว่าจ้าง (ที่หรือ) ก่อน $B$จากนั้น $B$กลยุทธ์ของการจ้างผู้สมัครคนต่อไปที่ดีกว่า $A$ถ้ามี นอกจากนี้หากผู้สมัครมาด้วยการชนะเดิมพัน$> .5$, $B$ ควรพยายามจ้างแม้ว่า $A$ จะพยายามจ้าง (และบังคับ) $B$ เพื่อให้ดูต่อไป)

คำถามเดียวที่เหลือคือ: มันเคยเป็นประโยชน์สำหรับ $B$ จ้างเมื่ออัตราต่อรองของการชนะคือ $<= .5$. คำตอบคือ: ใช่

สังหรณ์ใจพูดว่ามีรอบที่โอกาสในการชนะกับผู้สมัครคือ $.5 - \epsilon$. นอกจากนี้ยังมี "แนวโน้มที่จะเป็น" (อธิบายในภายหลัง) ผู้สมัครในอนาคตที่มีอัตราต่อรองที่ชนะ$> .5 + \epsilon$. แล้วมันจะได้ประโยชน์$B$ เพื่อเลือกผู้สมัครก่อนหน้า

ปล่อย $d_r$ เป็นผู้สมัครสัมภาษณ์ในรอบ $r$ เพื่อทุกสิ่ง $1 <= r <= N$.

อย่างเป็นทางการ $B$กลยุทธ์ของ: "จ้าง $d_r$ หากทำเช่นนั้นจะให้อัตราต่อรองที่ดีกว่าในการชนะถ้าไม่ใช่ "ต่อไปนี้เป็นวิธีที่เราคำนวณการตัดสินใจดังกล่าว

ปล่อย $p_{r,i}$ เป็นความน่าจะเป็นที่จะชนะหลังจากสัมภาษณ์และจ้างงาน $d_r$ รับ $d_r$ คือ $i$ผู้สมัครที่ดีที่สุดที่สัมภาษณ์ แล้ว:

$p_{r,i} =$ ความน่าจะเป็นที่ $d_s < d_r$ สำหรับ $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

Notably, $p_{r,i}$ is easily computable to constant accuracy.

Let $P_{B,r}$ be the probability that $B$ wins given that neither company hired in rounds $1$ through $r-1$.

Then $B$ would hire $d_r$ if the probability of winning after hiring $d_r$ is better than $P_{B,r+1}$.

Note that $P_{B,N} = 0$, because if it is the last round, then $A$ is guaranteed to hire and $B$ will not hire anyone and loose.

Then, in round $N-1$, $B$ is guaranteed to try to hire and will succeed unless $A$ hires as well. So:

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

Which leads to the recursive function:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

It's pretty obvious that $P_{B,r}$ can be calculated to constant accuracy in polynomial time. The final question is: "what is the probability of $B$ winning?" The answer is $P_{B,1}$ and varies with $N$.

As to the question of how often does $B$ win? I have not calculated exactly, but looking at $N$ from 1 to 100, it appears that as $N$ grows, that $B$'s winning rate approaches .4 or so. This result may be off as I just did a quick python script to check and did not pay close attention to rounding errors with floating numbers. It may very well end up that the real hard limit is .5.