การจำแนกประตูย้อนกลับ

ตาข่ายของโพสต์ที่อธิบายโดย Emil Post ในปี 1941 นั้นเป็นแผนภาพการรวมที่สมบูรณ์ของชุดฟังก์ชันบูลีนที่ปิดภายใต้การจัดองค์ประกอบ: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันโมโนโทนฟังก์ชันเชิงเส้นของ GF (2) และฟังก์ชันทั้งหมด (โพสต์ไม่ได้สันนิษฐานว่าค่าคงที่ 0 และ 1 นั้นมีให้ใช้ฟรีซึ่งทำให้ขัดแตะของเขาซับซ้อนกว่านั้นมาก

คำถามของฉันคือไม่ว่าจะมีการเผยแพร่สิ่งใดที่คล้ายคลึงกันสำหรับประตูย้อนกลับแบบคลาสสิคเช่นประตู Toffoli และ Fredkin คือคลาสใดของการแปลงแบบพลิกกลับได้ใน {0,1} ⁿสามารถสร้างขึ้นได้โดยคอลเลกชันของประตูย้อนกลับบางส่วน? นี่คือกฎ: คุณได้รับอนุญาตไม่ จำกัด จำนวนบิตบิตที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเป็น 0 และอื่น ๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเป็น 1 ตราบเท่าที่บิตบิตทั้งหมดถูกส่งกลับไปที่การตั้งค่าเริ่มต้นเมื่อการเปลี่ยนแปลงของคุณคือ {0,1} ⁿคือ เสร็จ นอกจากนี้ SWAP ของ 2 บิต (เช่นการติดฉลากดัชนีของพวกเขา) จะให้บริการฟรีเสมอ ภายใต้กฎเหล่านี้นักเรียนของฉันลุคชาฟเฟอร์และฉันสามารถระบุการเปลี่ยนแปลงสิบชุดต่อไปนี้:

ชุดที่ว่างเปล่า
ชุดที่สร้างโดยประตูไม่ได้
ชุดที่สร้างขึ้นโดย NOTNOT (เช่นไม่ใช่ประตูที่ใช้กับ 2 บิต)
ชุดที่สร้างโดย CNOT (เช่นประตูควบคุม - ไม่)
ชุดที่สร้างโดย CNOTNOT (เช่นพลิกบิตที่ 2 และ 3 ถ้า if บิตที่ 1 คือ 1)
ชุดที่สร้างโดย CNOTNOT และไม่
ชุดที่สร้างโดยประตู Fredkin (เช่น Controlled-SWAP)
ชุดที่สร้างโดย Fredkin และ CNOTNOT
ชุดที่สร้างโดย Fredkin, CNOTNOT และ NOT
ชุดของการแปลงทั้งหมด

เราต้องการระบุครอบครัวที่เหลืออยู่จากนั้นพิสูจน์ว่าการจัดหมวดหมู่เสร็จสมบูรณ์ --- แต่ก่อนที่เราจะใช้เวลากับมันมากเราต้องการทราบว่ามีใครทำมาก่อนหรือไม่

circuit-families

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

คุณพลาด NOTCSWAP และ (CSWAP, NOTCSWAP) หรือไม่ซึ่ง NOTCSWAP นั้นควบคุมการสลับได้ แต่แลกเปลี่ยน x, y ในขณะที่อาร์กิวเมนต์ c เป็น 0 (แทนที่จะสลับเมื่อ c เท่ากับ 1 ใน CSWAP)? คุณต้องการทั้งสองอย่างนี้ในการรับการเปลี่ยนแปลงน้ำหนักของ Hamming ทั้งหมด: CSWAP อนุญาตเฉพาะเวกเตอร์ของน้ำหนัก Hamming ming2 ในขณะที่ NOTCSWAP จะอนุญาตเฉพาะเวกเตอร์น้ำหนักของ Hamming ≤n-2

— David Eppstein

นอกจากนี้ (วิ่งออกจากห้องในความคิดเห็นก่อนหน้า) โดยกำหนดให้บิตควบคุมจำนวนมากเป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์คุณสามารถรับเซตย่อยที่ จำกัด ของน้ำหนักการถนอมแฮมมิงที่ จำกัด เพียงแค่เวกเตอร์ที่มีน้ำหนักแฮมมิงแฮมอย่างน้อยที่สุด ขอบเขต ดังนั้นนี่จึงมีการเปลี่ยนแปลงหลายระดับ

— David Eppstein

ขอบคุณเดวิด - แต่ฉันคิดว่ามีบรรพบุรุษ 0 และ 1 คนพร้อมให้บริการฟรีอย่างแม่นยำเพื่อกำจัด "ความวิปริต" ดังกล่าว มันไม่ทำเช่นนั้น?

— Scott Aaronson

Let

C_{n}

$C_n$ เป็นชั้นเรียนของพีชคณิตทั้งหมดรักษา Hamming น้ำหนักแบบโมดูโลn

n

$n$ จากนั้น

C_{n}

$C_n$ ตอบสนองความต้องการของคุณและ

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$ iff

m | n

$m|n$ : การรวมกันของ

C_{n}

$C_n$ ที่อื่นจะเห็นได้จากฟังก์ชัน

n

$n$ -ary

f_{n}

$f_n$ st

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$ ,

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$ และ

f (x) = x

$f(x)=x$ สำหรับ

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$ n

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งเหล่านี้มีมากมายหลายคลาสที่แตกต่างกัน

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ดูกระดาษeccc.hpi-web.de/report/2015/066ซึ่งความคิดเหล่านี้ได้รับการขัดเกลาและยังอ้างอิงถึงคำตอบของ Emil ด้านล่าง

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ นี่คือการนำเสนอของคู่ครึ่งหนึ่งสำหรับการแปลงแบบย้อนกลับได้ซึ่งคล้ายกับมาตรฐานความเป็นคู่แบบโคลนนิ่ง - coclone (เช่นที่นี่ ) มันไม่ได้ตอบคำถาม แต่มันแสดงให้เห็นว่าทุกคลาสที่ปิดของฟังก์ชั่นดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยการเก็บรักษาคุณสมบัติของรูปแบบเฉพาะ

ตรงกันข้ามกับกรณีมาตรฐานความยุ่งยากหลักคือการเรียงสับเปลี่ยนสามารถนับ (พวกเขารักษา cardinality) ดังนั้นค่าคงที่ของพวกเขาจำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับเลขคณิตเล็กน้อยสำหรับบัญชีนี้

ผมขอเริ่มด้วยคำศัพท์เบื้องต้นที่แน่นอน แก้ไขชุดฐานจำกัด (ในกรณีที่คลาสสิกสกอตต์ถามเกี่ยวกับส่วนของการอภิปรายยังทำงานได้ไม่สิ้นสุดแต่ไม่ใช่ตัวละครหลัก) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

ชุดของพีชคณิต (หรือ: แปลงกลับได้) เป็นเซต $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ ที่ $\sym(X)$ หมายถึงกลุ่มของพีชคณิตของXโคลนเปลี่ยนแปลงเป็นชุดของพีชคณิตดังกล่าวว่า $X$ $\cC$

แต่ละปิดให้บริการภายใต้องค์ประกอบ $\cC\cap\sym(A^n)$

สำหรับใด ๆการเปลี่ยนแปลงกำหนดโดยอยู่ใน $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$ \

ถ้าและการเปลี่ยนรูปกำหนดโดยอยู่ในC $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

ตั้งแต่มี จำกัด 1 หมายความว่าเป็นกลุ่มย่อยของn) OP ต้องการเพียงแค่ 2 transpositionsเท่านั้น แต่รุ่นที่นี่มีความชัดเจนเทียบเท่า เงื่อนไขที่ 3 นั้นเทียบเท่ากับสิ่งที่ฉันเรียกว่าการแนะนำของตัวแปรดัมมี่ในความคิดเห็นด้านบน $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

โคลนต้นแบบเป็นโคลนเปลี่ยนแปลงด้วยค่าเผื่อการ ancillas:

Let ,และเป็นเช่นนั้นสำหรับทุก nแล้วหมายถึง C $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

เราตั้งเป้าหมายที่จะจำแนกลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโคลนและโคลนต้นแบบโดยค่าคงที่ ก่อนอื่นให้ฉันกระตุ้นตัวอย่างหลังใน : $A=\{0,1\}$

ต้นแบบโคลนของวิธีเรียงสับเปลี่ยนรักษาน้ำหนัก Hamming (สร้างโดยประตู Fredkin) หากหมายถึงการรวมในการเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้มีลักษณะโดยคุณสมบัติ $w$ $\{0,1\}$ $\N$ ที่และที่ผมเขียนx_n)
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
ต้นแบบโคลนของวิธีเรียงสับเปลี่ยนรักษาโมดูโลน้ำหนักโมดูโลคงที่กล่าวถึงในความคิดเห็น นี่คือลักษณะโดยสูตรเดียวกับข้างต้นถ้าเราตีความเป็นฟังก์ชันจากถึงกลุ่มและคำนวณผลรวมที่นั่น $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
มาสเตอร์โคลนของพีชคณิตเรียงสับเปลี่ยน , , (สร้างโดย CNOT) หนึ่งตรวจสอบได้ง่าย (หรือรู้จากกรณี Post) ว่าฟังก์ชั่นเอาต์พุตเดียวคือเลียนแบบ iff มันรักษาความสัมพันธ์ $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ . ดังนั้นหากเรากำหนดโดย อยู่ในรูปแบบ iff $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ ดังนั้นเราจะจัดการกับเงินก้อนในหนังสือ) $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$

โดยทั่วไปฟังก์ชั่นน้ำหนักคือการทำแผนที่โดยที่และเป็น monoid สลับตำแหน่ง ฟังก์ชั่นหลักน้ำหนักเป็นสิ่งหนึ่งที่แผนที่ทุกเส้นทแยงมุม -tuples , , องค์ประกอบผกผันของMให้แทนคลาสของฟังก์ชันน้ำหนักทั้งหมดและคือฟังก์ชันน้ำหนักหลัก $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

ถ้าและเป็นฟังก์ชันน้ำหนักเราบอกว่าเป็นค่าคงที่ของหรือ (ยืมคำศัพท์โดยไม่ตั้งใจ) ที่คือpolymorphism ของและเขียน , หากเงื่อนไขต่อไปนี้เก็บไว้สำหรับทั้งหมด $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ : $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

ถ้าแล้ว $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

นี่ , , และในทำนองเดียวกันสำหรับปีกล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า (หรือมากกว่าการขยายขนานกับ ) เก็บรักษาผลรวมของของการขัดแย้ง $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

ความสัมพันธ์ระหว่างและ (หรือ ) ก่อให้เกิดการเชื่อมต่อ Galois ระหว่างชุดของพีชคณิตและชั้นเรียนของฟังก์ชั่นน้ำหนัก , ในทางปกติ: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$ และทำให้มอร์ฟคู่ระหว่างโปรยสมบูรณ์ของชุดปิดของพีชคณิตและชั้นเรียนปิด (ต้นแบบ) ฟังก์ชั่นน้ำหนักตามลำดับ เมื่อต้องการดูว่าเราอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้องเราสังเกตว่าการเรียงสับเปลี่ยนแบบปิดเป็นโคลนจริง ๆ :

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

บทแทรก:ถ้าดังนั้นคือการเปลี่ยนแปลงการโคลน ถ้าดังนั้นเป็นโคลนต้นแบบ $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

หลักฐาน:การยืนยันครั้งแรกมีความชัดเจนมากหรือน้อย เป็นครั้งที่สองให้ , จะเป็นในสภาพที่ 4 เพื่อให้และให้จะเป็นในความหมายของ Wใส่ , $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ และ )จากนั้นหมายถึง $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$ อย่างไรก็ตามมีความผกผันในเป็นเป็นฟังก์ชั่นน้ำหนักต้นแบบจึง

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

ก่อนที่เราจะดำเนินการต่อไปเราจำเป็นต้องแก้ไขปัญหาหนึ่งข้อ: monoids อาจมีขนาดใหญ่ดังนั้นผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงของแบบฟอร์มนี้อาจถูกสงสัยว่าถูกไร้สาระนามธรรมไร้ประโยชน์

$w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

ตอนนี้เราพร้อมแล้วสำหรับประเด็นหลักของโพสต์นี้:

ทฤษฎีบท:การเรียงสับเปลี่ยนแบบปิดในการเชื่อมต่อกัวลัสไปยังฟังก์ชันน้ำหนักที่ลดลงได้ไม่ จำกัด (ต้นแบบ) โดยตรงคือการเปลี่ยนรูปโคลนนิ่งที่แน่นอน (มาสเตอร์โคลน, การตอบสนอง)

$\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

$\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

$k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

$M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

$\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

$\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

$\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$ (ฉ) QED

แก้ไข: การวางแนวทั่วไปของความเป็นคู่ clone – coclone ด้านบนถูกเขียนขึ้นมา

[1] อี Jerabek, การเชื่อมต่อ Galois สำหรับการดำเนินงานหลายเอาท์พุท , preprint 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO]

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับความพยายามที่จะต้องเขียนถึงสิ่งนี้! มันจะใช้เวลาในการย่อยมันเนื่องจากภาษาของโคลนนิ่งและพีชคณิตสากลนั้นค่อนข้างเป็นนามธรรมสำหรับฉัน (อันที่จริงมันเป็นสิ่งที่สะดุดเมื่อฉันพยายามอ่านวรรณกรรมในอดีต) แต่เมื่อเราทำโคลนนิ่งออกมาอย่างเป็นรูปธรรมมันมีประโยชน์ที่จะรู้ว่าพวกมันจะถูกแปรสภาพโดยค่าคงที่เช่นเดียวกับตัวอย่างที่เรารู้ทั้งหมด (อนึ่งเพื่อดูการพูด, Fredkin + ไม่เป็นที่โดดเด่นด้วยค่าคงที่ผมคิดว่าเรามองไปที่คู่ของปัจจัยการผลิตและกล่าวว่าทุกแปลงแยมผลรวมของ parities ของพวกเขา?)

— สกอตต์ Aaronson

ในขณะเดียวกันฉันมีความคืบหน้าในการรายงานคำถามที่เป็นรูปธรรม ฉันสามารถจำแนกคะแนนทั้งหมดในตาข่ายด้านบนประตู Fredkin: ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือการเปลี่ยนแปลงที่รักษา Hamming weight mod k สำหรับ k ใด ๆ การแปลงที่รักษาหรือพลิก Hamming weight mod 2 (สร้างโดย Fredkin + ไม่) และการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ฉันยังสามารถอธิบายลักษณะทั้งหมดของคะแนนในโครงข่ายด้านบน CNOTNOT: พวกเขาเป็นเพียงสิ่งที่ฉันระบุไว้ใน OP (CNOTNOT + ไม่ใช่ CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT ทุกอย่าง)

— Scott Aaronson

ใช่สำหรับ Fredkin + ไม่เราสามารถใช้ ,Y ขอบคุณสำหรับการอัปเดตนี่ฟังดูดีมาก

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ความหวังนั้นแน่นอนว่าค่าคงที่ในทางปฏิบัตินั้นน้อยกว่าสิ่งที่พิสูจน์ได้ (ในกรณีโพสต์ฉันเชื่อว่าสิ่งที่เลวร้ายที่สุดที่สามารถเกิดขึ้นได้คือ ) การเชื่อมต่อ Galois ไม่ได้ช่วยในการจัดหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมโดยตรง ก่อนอื่นอาจเป็นการง่ายกว่าที่จะค้นหาคลาสที่ไม่ระบุชื่อก่อนหน้านี้หากมีคนรู้ว่ามีอสังหาริมทรัพย์ประเภทใดให้มองหา ประการที่สองขั้นตอนทั่วไปในการพิสูจน์การจัดประเภทของโพสต์มีลักษณะดังนี้ เราไปถึงคลาสที่ไหนสักแห่งในระหว่างตาข่ายและเราต้องการที่จะอธิบายชั้นเรียนข้างต้น ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$