กราฟมอร์ฟิซึมกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันในชุดจุดสุดยอด

กราฟสีสามารถอธิบายได้ว่าเป็นสิ่งอันดับ $(G,c)$ ที่ไหน $G$ เป็นกราฟและ $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$เป็นสี กราฟสองสี$(G,c)$ และ $(H,d)$ มีการกล่าวถึง isomorphic หากมี isomorphism อยู่ $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ เช่นนั้นเชื่อฟังสีคือ $c(v) = d(\pi(v))$ เพื่อทุกสิ่ง $v \in V(G)$.

ความคิดนี้รวบรวมความผิดปกติของกราฟสีในแง่ที่เข้มงวดมาก พิจารณากรณีที่คุณมีแผนที่ทางการเมืองสองแห่งในภูมิภาคเดียวกัน แต่ใช้ชุดสีที่แตกต่างกัน หากมีคนถามว่าพวกเขามีสีในแบบเดียวกันหรือไม่ก็คงคิดว่านี่หมายความว่ามีการทำแผนที่ bijective ระหว่างชุดสีทั้งสองชุดหรือไม่ ความคิดนี้สามารถทำเป็นระเบียบโดยการอธิบายกราฟสีเป็น tuple$(G,\sim)$ ที่ไหน $\sim$ เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันในชุดจุดสุดยอดของ $G$. จากนั้นเราสามารถพูดได้สองกราฟดังกล่าว$(G,\sim_1)$ และ $(H,\sim_2)$ isomorphic ถ้ามี isomorphism อยู่ $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ เช่นนั้นสำหรับทุกคู่ $v_1,v_2 \in V(G)$ มันถือได้ว่า

คำถามของฉันคือว่าแนวคิดนี้ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้ wrt หารูปแบบที่ยอมรับและอื่น ๆ และถ้าเป็นเช่นนั้นภายใต้ชื่อที่มันเป็นที่รู้จักกัน?

ปัญหาที่คุณอธิบายได้รับการพิจารณาอย่างแน่นอน (ฉันจำได้ว่าพูดคุยกันในโรงเรียนระดับประถมศึกษาและในเวลานั้นก็มีการพูดคุยกันมานานแล้ว) แม้ว่าฉันจะไม่สามารถชี้ไปที่การอ้างอิงใด ๆ ในวรรณคดี อาจเป็นเพราะมันเป็นเส้นตรงเทียบเท่ากับกราฟมอร์ฟิซึ่มไม่มีสีดังนี้ (นี่เป็นเรื่องจริงแม้แต่สำหรับรูปแบบบัญญัติ) โทรหาปัญหาที่คุณอธิบาย EQ-GI

GI เป็นเพียงกรณีพิเศษของ EQ-GI โดยที่กราฟแต่ละกราฟมีคลาสสมมูลเพียงหนึ่งชั้นซึ่งประกอบด้วยจุดยอดทั้งหมด

ในอีกทางหนึ่งเพื่อลด EQ-GI เป็น GI ให้ $(G, \sim_G)$ เป็นกราฟที่มีความสัมพันธ์เทียบเท่า $n$ จุด $m$ ขอบและ $c$คลาสที่เทียบเท่า สร้างกราฟ$G'$ ซึ่งจุดยอดที่ตั้งประกอบด้วยจุดยอดของ $G$พร้อมกับจุดยอดใหม่ $v_1, \dotsc, v_c$หนึ่งสำหรับแต่ละคลาสที่เทียบเท่าใน $=_G$เช่นเดียวกับ $n+c+1$ จุดยอดใหม่ $w_0, \dotsc, w_{n+c}$. เชื่อมต่อ$w_i$อยู่ในเส้นทาง $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$เชื่อมต่อกัน $v_i$ ถึง $w_0$และสำหรับทุกจุดสุดยอดใน $G$เชื่อมต่อกับจุดสุดยอดระดับความเท่าเทียมที่สอดคล้องกัน $v_i$. แล้วก็$G'$ มีมากที่สุด $n + 2c + n +1 \leq O(n)$จุดยอดและสามารถสร้างได้ในเวลาเดียวกัน (มันยังมีมากที่สุด$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ ขอบ - ซึ่งก็คือ $O(m)$ สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อ - แต่มันค่อนข้างมีความเกี่ยวข้องน้อยกว่าเนื่องจากอัลกอริทึม GI ส่วนใหญ่มีเวลาทำงานที่ขึ้นอยู่กับ $n$.)

อัปเดต : เนื่องจากมีความสับสนในความคิดเห็นฉันจึงเพิ่มภาพร่างของความถูกต้องของอาร์กิวเมนต์ข้างต้น ป.ร. ให้ไว้$(G_1, \sim_1)$ และ $(G_2, \sim_2)$, ปล่อย $G_1'$ และ $G_2'$เป็นกราฟที่สร้างขึ้นดังกล่าวข้างต้น ปล่อย$v_{i,1}$ หมายถึงจุดสุดยอด $v_i$ จากด้านบนใน $G_1'$และ $v_{i,2}$ หนึ่งใน $G_2'$และในทำนองเดียวกันสำหรับ $w_{i,1}$ และ $w_{i,2}$. หากมีมอร์ฟิซึ่มส์$G_1' \cong G_2'$มันจะต้องส่ง $w_{i,1}$ ถึง $w_{i,2}$ เพื่อทุกสิ่ง $i$เนื่องจากในแต่ละกราฟ $w_{n+c}$ เป็นจุดสุดยอดที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของเส้นทางความยาวอย่างน้อย $n+c+1$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$w_{0,1}$ แผนที่ไปยัง $w_{0,2}$. ตั้งแต่เพื่อนบ้านของ$w_0$ นั่นไม่ใช่ $w_1$ เป็นสิ่งที่ $v_i$isomorphism จะต้องแมปชุด $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ เพื่อตั้ง $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทั้งสอง $\sim_1$ และ $\sim_2$ จะต้องมีหมายเลขเดียวกัน $c$ของคลาสที่เทียบเท่า) โปรดทราบว่ามอร์ฟิซึ่มไม่จำเป็นต้องส่ง$v_{i,1}$ ถึง $v_{i,2}$ เพื่อทุกสิ่ง $i$แต่ได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนดัชนีของ $v$ตราบใดที่คลาสความเท่าเทียมที่สอดคล้องกันสามารถถูกแมปเข้ากับคลาสอื่นได้ ตรงกันข้ามขึ้นอยู่กับคำอธิบายของวิธีการมอร์ฟิซึ่มส์ระหว่างนี้$G_1'$ และ $G_2'$ สามารถดูมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้า $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ จากนั้นนี่จะทำให้มอร์ฟิซึ่มส์ $G_1' \cong G_2'$.

ฉันอ่านความคิดเห็นสุดท้ายของคุณในคำตอบที่ถูกต้องของโจชัว หากคุณต้องการแปลง EQ-GI เป็น GI สี (เช่นคุณมีปัญหากับสีที่กำหนดให้กับคลาสเทียบเท่า) คุณสามารถใช้การลดต่อไปนี้:

สมมติว่ากราฟเริ่มต้นคือ $G_1 = (V_1, E_1)$, $G_2 = (V_2, E_2)$ และมี $q$คลาสที่เท่าเทียมกัน จากนั้นคุณสามารถเพิ่ม "permutator" กราฟแต่ละกราฟคือกราฟที่สมบูรณ์$|V_1|+1=|V_2|+1$ โหนด ($K'_{|V_1|+1}$,$K''_{|V_2|+1}$) และการใช้งานสี1}$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

ในทั้งสองและ , โหนดมีความโดดเด่นและสีที่มีโหนดที่เหลือจะถูกสีด้วย1} โหนดของมีสีด้วยสีและโหนดในคลาสที่เท่ากันจะเชื่อมโยงกับสีที่สอดคล้องกันใน ; โหนดของมีสีด้วยสีและโหนดในชั้นสมมูลเดียวกันจะเชื่อมโยงกับสีที่สอดคล้องกันใน''$K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$$K''$

นอกจากนี้โปรดทราบว่าคุณสามารถวางสีและรับอินสแตนซ์ GI ที่เทียบเท่า :-)

การลดที่สอดคล้องกับตัวอย่างในความคิดเห็นของคุณ