ความซับซ้อนของการระบายสีขอบในกราฟระนาบ

15

3 ขอบสีลูกบาศก์กราฟเป็นสมบูรณ์ ทฤษฎีบทสี่สีนั้นมีค่าเทียบเท่ากับ "กราฟกราฟไร้สายทุกลูกบาศก์ลูกบาศก์มีสี 3 ขอบ" $NP$

ความซับซ้อนของการระบายสี 3 ขอบของกราฟลูกบาศก์ภาพถ่ายคืออะไร?

นอกจากนี้ยังมีการคาดเดาว่าสีลิ่มเป็นฮาร์ดสำหรับกราฟระนาบที่มีระดับสูงสุด {4,5} $\Delta$ $NP$ $\Delta \in$

มีความคืบหน้าใดบ้างในการแก้ไขการคาดการณ์นี้?

Marek Chrobak และ Takao Nishizeki ปรับปรุงอัลกอริธึมการระบายสีขอบสำหรับกราฟระนาบ วารสารอัลกอริทึม 11: 102-116, 1990

ไม่ได้บรรทัดที่ 2 ในตารางที่ 1 ในdx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3หมายความว่า "การระบายสี 3 เหลี่ยมของลูกบาศก์ลูกบาศก์บนระนาบ" สามารถแก้ไขได้แบบพหุนาม

— Oleksandr Bondarenko

รายการตารางหมายถึงกระดาษโรเบิร์ตสันส์, แซนเดอร์, ซีมัวร์และโทมัสโฟร์คัลเลอร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับกราฟระนาบลูกบาศก์Bridgeless

— Mohammad Al-Turkistany

+1 คำถามที่ยอดเยี่ยมฉันมี simliar แต่มีประโยชน์มากกว่า...

— draks ...

สวัสดีคุณทราบหรือไม่ว่ามีความคืบหน้าสำหรับการระบายสีแบบ 3 ขอบบนลูกบาศก์กราฟบนพรูคู่หรือไม่?

— draks ...

15

กราฟคิวบิกระนาบbridgelessทุกตัวสามารถเป็นสี 3 ขอบในเวลากำลังสองเนื่องจากงานนี้เทียบเท่ากับระนาบกราฟสี่สีซึ่งสามารถทำได้ในเวลากำลังสอง (ดู Robertson, Sanders, Seymour และ Thomas: http://people.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/fcdir/fcstoc.ps )

แก้ไข: ตามที่ Mathieu ชี้ให้เห็นกราฟลูกบาศก์ที่มีสะพานนั้นไม่มีสี 3 ขอบ

— เอมิล
แหล่งที่มา

5

กราฟลูกบาศก์ที่มีสะพานจะไม่มีขอบ 3 สี สิ่งนี้ติดตามได้จาก "Parity Lemma" ตัวอย่างดูคำกล่าวใต้ Lemma 2.1 ในcombinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1r32.pdf

— Colin McQuillan

1

เพื่อความแม่นยำความเท่าเทียมกันระหว่าง

-edge coloration และ

-colour ย่อมาจากกราฟระนาบลูกบาศก์ bridgeless

3

$3$

4

$4$

— Mathieu Chapelle

@Emil ฉันไม่เห็นว่ามันจะหมายถึงกราฟลูกบาศก์ PLANAR ที่มีสะพานไม่เคยเป็นแบบ 3 สี

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany เนื่องจากสองสี a และ b ใน d-edge-colouring ของกราฟ d-regular (d> = 2) subgraph ที่เกิดจากขอบ a หรือ b เป็นสีที่แยกออกจากกันของวงจร จากสิ่งนี้ติดตามความเท่าเทียมกันของเล็มม่า: ถ้า X เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ V (G) และ F คือการตัดที่เหนี่ยวนำโดย X ดังนั้นสำหรับทุกสี a และ b ความเท่าเทียมกันของจำนวนขอบของสี X คือ a เท่ากับความเท่าเทียมกันของจำนวนขอบของ X color b ดังนั้น, กราฟ d-regular ใด ๆ (d> = 2) ที่มีบริดจ์ไม่สามารถเป็น d-edge-colourable, ไม่ว่าจะเป็นภาพถ่ายแนวราบหรือไม่ก็ตาม

— Leandro Zatesko

5

การระบายสี 3 ขอบของกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยมซึ่งมีระดับสูงสุด 3 คือ NP-complete เช่นกันที่ 10.1016 / S0096-3003 (96) 00021-5

— Diamantis Koreas
แหล่งที่มา

4

คุณอาจพบกระดาษที่น่าสนใจนี้:

http://cs.nyu.edu/cole/papers/edge_col.pdf

— Joseph Malkevitch
แหล่งที่มา

หรืออีกทางหนึ่งคือdx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3แปลกที่นี่เป็นหนึ่งในเพลงฮิตครั้งแรกเมื่อคุณ google <edge colorar planar graphs>

— RJK