สาขาวิชาพีชคณิตของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ฉันมีฐานที่แข็งแกร่งในพีชคณิตนั่นคือ

• พีชคณิตสลับ
• พีชคณิต homological
• ทฤษฎีสนาม
• ทฤษฎีหมวดหมู่

และฉันกำลังเรียนเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ฉันเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความโน้มเอียงที่จะเปลี่ยนไปใช้วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี การรักษาเขตข้อมูลที่กล่าวถึงข้างต้นในใจซึ่งสาขาใดจะเป็นสาขาที่เหมาะสมที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่จะเปลี่ยน? นั่นคือในทางใดที่ทฤษฎีและคณิตศาสตร์สามารถได้รับวุฒิภาวะโดยการใฝ่หาข้อมูลด้านบนจะถูกนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของคน?

มีการพัฒนาล่าสุดในทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับที่เกี่ยวข้องระบบการพิมพ์ให้กับประเภท homotopy

ตอนนี้เป็นเขตที่มีขนาดค่อนข้างเล็ก แต่มีเป็นจำนวนมากของการทำงานที่น่าตื่นเต้นที่กำลังทำอยู่ในขณะนี้และอาจมีจำนวนมากของผลไม้แขวนต่ำโดดเด่นที่สุดในการย้ายเป็นผลมาจาก topology เกี่ยวกับพีชคณิตและพีชคณิต homologicalและอย่างเป็นทางการคิดของประเภทอุปนัยที่สูงขึ้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตถูกใช้อย่างมากในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต ทฤษฏีการเป็นตัวแทนก็มีความสำคัญต่อสิ่งหลังเช่นกัน แต่มันมีประโยชน์มากกว่าเมื่อรวมกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ความรู้ของคุณเกี่ยวกับทฤษฎีสนามจะเป็นประโยชน์ในการเข้ารหัสขณะที่ทฤษฎีหมวดหมู่นั้นถูกใช้อย่างหนักในการวิจัยเกี่ยวกับภาษาโปรแกรมและระบบการพิมพ์ซึ่งทั้งสองอย่างนี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับรากฐานของคณิตศาสตร์

ทฤษฎีภาคสนามและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจะมีประโยชน์ในหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดทั้งในการตั้งค่าแบบคลาสสิกรวมถึงการศึกษารหัสที่ถอดรหัสได้ในท้องถิ่นและการถอดรหัสแบบรายการ ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้จะกลับไปทำงานในรหัส Reed-Solomon และ Reed-Muller ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นรหัสเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแล้ว ดูตัวอย่างบทหนังสือเล่มนี้เกี่ยวกับมุมมองทฤษฎีการเข้ารหัสแบบคลาสสิกของรหัสเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการสำรวจสั้น ๆเกี่ยวกับรหัสที่ถอดรหัสได้ในประเทศและบทความที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับการถอดรหัสรายการ Reed-Solomon

มีปัญหาบางอย่างในทฤษฎีการเรียนรู้การคำนวณการเรียนรู้ของเครื่องและการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้พีชคณิตแบบสับเปลี่ยนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ยกตัวอย่างเช่นการบรรจบกันของขั้นตอนวิธีการขยายพันธุ์ความเชื่อที่เป็นข้อความผ่านอัลกอริทึมสำหรับคชกรรมอนุมานได้สูตรในแง่ของพัฒนาการหลากหลายเลียนแบบของระบบสมการพหุนาม

คุณคิดว่าจะดูพีชคณิตคอมพิวเตอร์หรือไม่ Axiom เป็นระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ซึ่งระบบชนิดถูกจำลองตามทฤษฎีหมวดหมู่ (หรือ Universal Algebra ขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณ) มีสองอนุพันธ์ต่อไปของความจริงมีFriCASและOpenAxiom

หากคุณสนใจทฤษฎีหมวดหมู่ระบบประเภทอาจเป็นสิ่งที่ควรพิจารณา

ในสัจพจน์ "รายการ" ทุกรายการ (เช่น "1", "5 * x ** 2 + 1") เป็นองค์ประกอบของโดเมน "โดเมน" เป็นวัตถุจริงที่ประกาศว่าเป็นสมาชิกของหมวดหมู่ที่เฉพาะเจาะจง (เช่น Integer, Polynomial (Integer)) Axiom Category เป็นวัตถุ Axiom ที่ประกาศให้เป็นสมาชิกของสัญลักษณ์ "Category" ที่แตกต่าง (เช่น Ring, Polynomial (R, E, V))

มีขัดแตะสืบทอดสำหรับหลายมรดกในหมวดหมู่ เช่นหมวดหมู่ Monad สืบทอดมาจาก SetCategory, Monoid จาก Monad, Group จาก Monoid ฯลฯ ฯลฯ

นอกจากนี้ยังมี polymorphism ที่มีลำดับสูงกว่าเช่น Generics ใน Java

การกระทำหลายอย่างภายใน Axiom นั้นสามารถมองได้ว่าเป็น Functors แต่มันก็ค่อนข้างมากที่จะเข้าไปที่นี่

หากคุณเพียงต้องการใช้ Axiom โดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับทฤษฎีของหมวดหมู่ในฐานะผู้ใช้ทั่วไประบบการคำนวณเชิงสัญลักษณ์เป็นซอฟต์แวร์ที่เหมาะสมสำหรับการค้นหา algebras ของแต่ละบุคคล

$L \subseteq X^{\ast}$

บุคคลต่อไปนี้ได้ใช้มุมมองเกี่ยวกับพีชคณิตในกรณีของภาษาปกติ: ซามูเอลเอเลนเบิร์กในออทฤษฎีJean Berstel , Jean-Eric ขาคลื่นSchützenbergและโครห์นโรดส์ทฤษฎี

นอกจากนี้ยังมีพีชคณิตแบบไม่เกี่ยวข้องกับการทำงานเกี่ยวกับการคาดเดาของ Cernyซึ่งส่วนใหญ่เป็น combinatorial แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ที่ฉันได้เห็นมากขึ้นกับพีชคณิตเชิงเส้นทฤษฎีแหวนและทฤษฎีการแสดงให้ดูถึงการทำงานของเบนจามินสไตน์เบิร์กและJorge Almeida

โดยวิธีการที่คุณสามารถมาค่อนข้างดีในพื้นที่เหล่านี้กับทฤษฎี Semigroup-, Monoid- และกลุ่ม แต่ทฤษฎีหมวดหมู่และทฤษฎี Homotopy ไม่ได้ใช้ที่มากในพื้นที่นี้ แต่อาจจะน่าสนใจที่จะทราบว่า S. Eilenberg เป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งของทฤษฎีหมวดหมู่แม้จะมีก่อนหน้านี้เขามีส่วนร่วมในทฤษฎีออโตมา

วิทยานิพนธ์ของ Brent Yorgeyในขณะที่ยังเป็นเพียงร่างงานที่น่าทึ่งในการอธิบายว่าทำไมความสนใจของคุณเกี่ยวข้องกับ TCS

นี่คือการพูดคุยของ Joyalเมื่อเดือนเมษายนที่ผ่านมาจากเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง

ฉันไม่รู้ว่าคุณพิจารณาอุตสาหกรรมหรือไม่ แต่ บริษัท Ayasdi กำลังทำงานที่น่าทึ่งโดยใช้ homotopy จำนวนมากและวิธีทอพอโลยีที่ประยุกต์ใช้อื่น ๆ ในวิทยาศาสตร์ข้อมูล พวกเขาผสมผสานทฤษฎีจำนวนมากเข้ากับแอปพลิเคชัน โดยทั่วไปหากต้องการดูสิ่งที่พวกเขากำลังทำอยู่ให้ดูที่เว็บไซต์ของ Stanford Comptop (คนส่วนใหญ่มาจากที่นั่น)

นอกจากสิ่งที่ทุกคนพูด (ฉันเดาว่าแอปพลิเคชันที่ใหญ่ที่สุดของสาขาเหล่านี้เป็นระบบประเภท):

• ทฤษฎีแลททิซและคำสั่งบางส่วนโดยทั่วไปถูกนำมาใช้ค่อนข้างน้อยสำหรับการวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบกระจายและสำหรับการวิเคราะห์ดาต้าโฟลว์ในคอมไพเลอร์
• ฉันเห็นการเชื่อมต่อ Galois ที่นำไปใช้กับการเรียนรู้ของเครื่อง (โดยเฉพาะการจำแนกข้อความ: การเชื่อมต่อ Galois ระหว่างชุดย่อยของจุดยอดซ้ายและขวาของเอกสารสองฝ่าย / กราฟคำอนุญาตให้เร่งความเร็วอัลกอริธึมได้อย่างมาก)

การเชื่อมต่อระหว่างพีชคณิตและทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์นั้นแข็งแกร่งมาก Nic Doye พูดถึง Computer Algebra แล้ว แต่เขาไม่ได้รวมทฤษฎีของระบบการเขียนซ้ำอย่างชัดเจนซึ่งเป็นส่วนสำคัญของ Computer Algebra ด้วยการประยุกต์ใช้ในการแก้สมการอัตโนมัติและการใช้เหตุผลอัตโนมัติ ระบบการเขียนสตริงเป็นส่วนย่อยที่สำคัญพร้อมกับการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีกลุ่มการคำนวณ ตรวจสอบหนังสือ "String Rewriting Systems" โดย Ronald Book และ Friedrich Otto เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีกราฟและพีชคณิตซึ่งรวมถึงทฤษฎีสเปกตรัมที่ได้รับการพัฒนาเป็นอย่างดีของกราฟและเครือข่ายที่ซับซ้อนรวมถึงทฤษฎีสมมาตรกราฟ ซึ่งใช้เป็นแบบจำลองสำหรับเครือข่ายเชื่อมต่อระหว่างกันในคอมพิวเตอร์แบบขนาน) ตรวจสอบหนังสือ "ทฤษฎีกราฟเชิงพีชคณิต" โดย Chris Godsil และ Gordon Royle เพื่อดูภาพรวมของหัวข้อต่างๆ

ตรวจสอบสถานการณ์ในวิสัยทัศน์ของคอมพิวเตอร์ มีหลายหัวข้อโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับประเภทอัลกอริทึมซึ่งสามรายการแรกที่คุณมีรายการมีประโยชน์มาก