การทดสอบอสังหาริมทรัพย์ในการวัดอื่น ๆ ?

มีวรรณกรรมจำนวนมากเกี่ยวกับ "การทดสอบคุณสมบัติ" - ปัญหาในการทำแบบสอบถามกล่องดำจำนวนเล็กน้อยไปยังฟังก์ชันเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสองกรณี:$f\colon\{0,1\}^n \to R$

1. เป็นสมาชิกของคลาสบางฟังก์ชัน$f$$\mathcal{C}$

2. คือ ε -far จากฟังก์ชั่นในทุกระดับC$f$$\varepsilon$$\mathcal{C}$

ช่วงของฟังก์ชันบางครั้งเป็นบูลีน: R = { 0 , 1 }แต่ไม่เสมอไป$R$$R = \{0,1\}$

นี่ -far จะถูกนำทั่วไประยะ Hamming เฉลี่ย: ส่วนของจุดของFที่จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปยังสถานที่ฉระดับC นี่คือการวัดตามธรรมชาติถ้าfมีช่วงบูลีน แต่ดูเป็นธรรมชาติน้อยกว่าถ้าช่วงนั้นบอกว่ามีคุณค่าจริง$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

คำถามของฉัน: มีวรรณกรรมการทดสอบคุณสมบัติที่ทดสอบความใกล้ชิดกับคลาสบางส่วนเกี่ยวกับตัวชี้วัดอื่น ๆ หรือไม่?$\mathcal{C}$

ใช่แล้ว! ฉันจะให้สามตัวอย่าง:

1. ให้ชุด S และ "ตารางสูตรคูณ" เหนือ S x S ให้พิจารณาปัญหาในการพิจารณาว่าอินพุตอธิบายกลุ่ม abelian หรือไม่ว่าอยู่ไกลจากกลุ่มหนึ่งหรือไม่ Friedl, Ivanyos และ Santha ใน STOC '05แสดงให้เห็นว่ามีผู้ทดสอบคุณสมบัติที่มี polylog ซับซ้อนของการสืบค้น (| S |) เมื่อการวัดระยะทางเกี่ยวข้องกับระยะทางแก้ไขของตารางการคูณซึ่งช่วยให้สามารถเพิ่มและลบแถวและคอลัมน์จาก ตารางสูตรคูณ ปัญหาเดียวกันนี้ได้รับการพิจารณาในโมเดลระยะทาง Hamming โดยErgun, Kannan, Kumar, Rubinfeld และ Viswanathan (JCSS '00)ซึ่งพวกเขาแสดงความซับซ้อนของแบบสอบถาม O ~ (| S | ^ {3/2})

2. มีงานจำนวนมากที่ทำกับการทดสอบคุณสมบัติกราฟที่กราฟจะแสดงโดยใช้รายการคำคุณศัพท์และมีขอบเขตของระดับของแต่ละจุดยอด ในกรณีนี้แบบจำลองระยะทางไม่ใช่ระยะทาง Hamming อย่างแน่นอน แต่สามารถเพิ่มหรือลบขอบได้กี่อันในขณะที่ยังคงรักษาระดับไว้

3. ในการศึกษาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของคุณสมบัติการทดสอบของการแจกแจงได้มีการศึกษาแนวคิดต่าง ๆ เกี่ยวกับระยะห่างระหว่างการแจกแจง ในโมเดลนี้อินพุตคือการแจกแจงความน่าจะเป็นในบางชุดและอัลกอริทึมเข้าถึงได้โดยสุ่มตัวอย่างจากชุดตามการแจกแจงที่ไม่รู้จัก อัลกอริทึมนั้นจำเป็นต้องมีเพื่อตรวจสอบว่าการกระจายตามคุณสมบัติบางอย่างหรือ "ไกล" จากมัน มีการศึกษาแนวคิดต่าง ๆ เกี่ยวกับระยะทางเช่น L_1, L_2, earthmover มีการศึกษาการแจกแจงความน่าจะเป็นมากกว่าโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน ( Adamaszek-Czumaj-Sohler, SODA '10 )

โดยปกติจะไม่เรียกว่าการทดสอบคุณสมบัติ (และไม่ใช่จริง ๆ ) แต่มีงานขนาดใหญ่ในการตัดสินใจคุณสมบัติของเมทริกซ์โดยดูที่สิ่งกระตุ้นเล็กน้อย สิ่งนี้คล้ายกับเป้าหมายในการทดสอบอสังหาริมทรัพย์ ดูตัวอย่างกระดาษจาก Rudelson และ Vershynin:

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1255449

มีเอกสารก่อนหน้าโดย Frieze-Kannan ประเด็นก็คือโดยทั่วไปตัวชี้วัดที่พวกเขาใช้คือเมทริกซ์บรรทัดฐานบางอย่างเช่นบรรทัดฐานสเปกตรัม, บรรทัดฐาน Frobenius หรือบรรทัดฐานตัด หากคุณต้องการคุณสามารถนึกถึงผลลัพธ์เหล่านี้บางอย่างเป็นอัลกอริทึมการทดสอบคุณสมบัติในตัวชี้วัดอื่นที่ไม่ใช่ระยะทาง Hamming

$f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

$L_p$

$L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

$L_p$

$k$