XOR Automata (NXA) สำหรับภาษา จำกัด มีประโยชน์จากวงจรหรือไม่?

Xor automata (NXA) ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้เป็น syntactically NFA แต่คำว่า NXA นั้นได้รับการยอมรับว่าเป็นคำที่มีจำนวนเส้นทางที่ยอมรับได้ (แทนที่จะเป็นเส้นทางที่ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งกรณีใน NFA)

มันง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับภาษาปกติที่ จำกัดมี NFA น้อยที่สุดซึ่งไม่มีรอบใด ๆ (ถ้ารอบทั้งสองสามารถเข้าถึงได้จากสถานะเริ่มต้นและคุณได้รับจากมันไปสู่สถานะที่ยอมรับ - ภาษาของคุณไม่ใช่ จำกัด )$L$

นี่ไม่ใช่กรณีของ NXAs

แสดงว่าโดยซับซ้อน xor รัฐของภาษา ,$xsc(L)$$L$

และซับซ้อนรัฐ xor วัฏจักรของ (เช่นขนาดของ NXA วัฏจักรที่เล็กที่สุดซึ่งยอมรับ )$axsc(L)$$L$$L$

จริงหรือไม่สำหรับทุกภาษาที่ จำกัด :$L$

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

ฉันคิดว่าคำตอบคือการยืนยัน อาจจะมีหลักฐานที่ง่ายกว่า แต่นี่คือภาพร่างของหลักฐานที่ใช้พีชคณิตเชิงเส้น

เช่นเดียวกับ domotorp เราจะดูการกำหนดค่าของn -state แฮคเกอร์หุ่นยนต์เป็นพาหะในV = GF (2) n

ให้Lเป็นภาษาที่มีขอบเขตเหนือตัวอักษรΣ = {1, …, k } และพิจารณาออโตเมติก XOR สำหรับL ที่มีจำนวนขั้นต่ำของรัฐ ให้nเป็นจำนวนสถานะ เราคิดว่าสถานะมีการระบุว่า 1, …, n , และ state 1 เป็นสถานะเริ่มต้น

ก่อนอื่นเราตั้งค่าสัญกรณ์ ปล่อยให้v ₀ = (1, 0, …, 0) ^T ∈ Vเป็นเวกเตอร์ระดับประถมศึกษาที่สอดคล้องกับสถานะเริ่มต้นและปล่อยให้sเป็นเวกเตอร์แถวที่มีรายการi th คือ 1 ถ้าหากรัฐiเป็นรัฐยอมรับเท่านั้น subspace R = { v : s v = 0} ของVสอดคล้องกับเวกเตอร์การกำหนดค่าที่ถูกปฏิเสธ

สำหรับแต่ละ∈Σให้เป็นn × nเมทริกซ์กว่า GF (2) ซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากตัวอักษร ยกตัวอย่างเช่นการกำหนดค่าเวกเตอร์หลังจากที่ได้อ่านสายป้อนขเป็น_ขวี 0 สำหรับสตริงσ = a ₁ … a _tเราแสดงผลิตภัณฑ์A _{a t} … A _{a 1}โดยM ( σ ) ให้S = { A ₁, …, A _k }

สเปซWของVกล่าวจะS - คงที่เมื่อW ⊆ Wทุก∈ S ในบริบทของเรานี่หมายความว่าเมื่อเวกเตอร์การกำหนดค่าไปที่Wจะไม่มีทางออกจากWโดยการอ่านตัวอักษรเพิ่มเติม

เนื่องจากออโตเมติก XOR นี้มีจำนวนสถานะขั้นต่ำเราจึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

• พื้นที่ย่อยS -Invariant เดียวของVที่มีv ₀คือVเอง นี่เป็นเพราะถ้าWเป็นพื้นที่ย่อยS -Invariant ที่เหมาะสมที่มีv ₀ดังนั้นเราสามารถใช้WแทนV ได้ซึ่งขัดแย้งกับ minimality
• พื้นที่ย่อยS -invariant เดียวที่มีอยู่ในRคือ {0} นี่เป็นเพราะถ้าWเป็นsubspace S- invariant ที่ไม่ใช่nontrivial ที่มีอยู่ในRดังนั้นเราสามารถใช้ผลคูณเวกเตอร์สเปซV / WแทนVได้อีกครั้ง

เพราะLมี จำกัด ขอมเป็นจำนวนเต็มขนาดใหญ่กว่าความยาวของสตริงใด ๆ ในL

แทรก 1 สำหรับสตริงσของความยาวอย่างน้อยmเรามีM ( σ ) = 0

พิสูจน์ ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่าสำหรับสตริงσของความยาวอย่างน้อยmเรามีM ( σ ) v ₀ = 0 ให้Wเป็นพื้นที่ย่อยของV ที่ถูกขยายโดย { M ( σ ) v ₀ : σเป็นสตริงที่มีความยาวอย่างน้อยm } ตามคำนิยามWคือS -Invariant เพราะหุ่นยนต์แฮคเกอร์ในคำถามเหล่านี้ปฏิเสธสตริงσ , Wมีอยู่ในR ดังนั้นW = {0} ซึ่งหมายความว่าM ( σ ) วี₀ = 0 สำหรับทุกสายเช่นσ

พิจารณาเวกเตอร์v ∈ Vใด ๆ เพราะเพียงSสเปซ -invariant ของVที่มีวี₀เป็นVตัวเองโวลต์สามารถเขียนเป็นเชิงเส้นการรวมกันของเวกเตอร์ของรูปแบบM ( τ ) วี₀สำหรับสตริงบางτ เพราะM ( σ ) M ( τ ) วี₀ = M ( τ σ ) วี₀= 0 (ความเสมอภาคหลังต่อจากวรรคก่อนเพราะความยาวของτ σอย่างน้อยม. ) ก็ถือได้ว่าM ( σ ) V = 0 ■

เราต้องการข้อเท็จจริงอีกหนึ่งอย่างจากพีชคณิตเชิงเส้น

บทแทรก 2 ให้₁ , ... , _kเป็นn × nเมทริกซ์ทั่วสนามและกำหนดM ( σ ) ดังกล่าวข้างต้น หากมีม ≥0ดังกล่าวว่าM ( σ ) = 0 สำหรับทุกสตริงσของความยาวอย่างน้อยม.แล้วเมทริกซ์₁ , ... , _kพร้อมกันคล้ายกับการฝึกอบรมอย่างเคร่งครัดสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่า (นั่นคือมีอยู่n × n ningingular matrix Pเช่นเมทริกซ์P ⁻¹ A₁ P , …, P ⁻¹ A _k Pเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าอย่างเคร่งครัด)

กรณีของk = 1 เป็นลักษณะที่รู้จักกันดีของเมทริกซ์ nilpotent และเลมม่า 2 สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน

ตอนนี้พิจารณาn -state แฮคเกอร์หุ่นยนต์ซึ่งในเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกับสัญลักษณ์∈Σจะได้รับโดยP ^-1 P , เวกเตอร์กำหนดค่าเริ่มต้นจะได้รับโดยP ^-1 วี₀เวกเตอร์และลักษณะ (แถว) ของ รัฐจะได้รับการยอมรับโดยs P โดยการสร้างหุ่นยนต์ XOR นี้ยอมรับภาษาเดียวกันL. เนื่องจากเมทริกการเปลี่ยนรูปเป็นสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าอย่างเข้มงวดทุกช่วงการเปลี่ยนภาพในหุ่นยนต์ XOR นี้จะเปลี่ยนจากสถานะที่มีดัชนีขนาดเล็กลงสู่สถานะที่มีดัชนีใหญ่กว่าดังนั้นออโตเมติก XOR นี้จึงเป็นวงจร แม้ว่าเวกเตอร์การกำหนดค่าเริ่มต้นอาจมีมากกว่า 1 วินาที แต่ก็ง่ายที่จะแปลง XOR Automaton นี้เป็น XOR Automaton ปกติด้วยสถานะเริ่มต้นเดียวสำหรับภาษาเดียวกันโดยไม่เพิ่มจำนวนสถานะหรือทำลายวงจร

ฉันคิดว่าฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าวัฏจักรไม่สามารถช่วยเหลือตัวอักษรเอก

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$$s\cdot v_n=0$