สำหรับ oracle R แบบสุ่ม BPP จะเท่ากับชุดของภาษาที่คำนวณได้ใน P ^ R หรือไม่?

ชื่อเรื่องสวยมากบอกทุกอย่าง คำถามที่น่าสนใจข้างต้นถูกถามโดย commenter Jay บนบล็อกของฉัน (ดูที่นี่และที่นี่ ) ฉันเดาว่าทั้งสองคำตอบคือใช่และมีหลักฐานที่ค่อนข้างง่าย แต่ฉันไม่เห็นมันเลย (อย่างคร่าวๆแม้ว่าเราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าหากภาษาในไม่ได้อยู่ในB P Pดังนั้นมันจะต้องมีข้อมูลร่วมกันที่ไม่มีที่สิ้นสุดของอัลกอริทึมกับRในกรณีนี้มันจะไม่สามารถคำนวณได้เช่นกัน ว่าทิศทางหนึ่งเป็นเล็กน้อย: ภาษาคำนวณในP Rแน่นอนประกอบด้วยB P P ).$P^R$$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

หมายเหตุว่าฉันไม่ได้ถามเกี่ยวกับการเรียนAlmostPซึ่งประกอบด้วยภาษาเหล่านั้นที่อยู่ในสำหรับเกือบทุกR (และเป็นที่รู้จักกันดีเท่ากับB P P ) ในคำถามนี้เราแก้ไขครั้งแรกRแล้วมองไปที่ชุดของภาษาที่คำนวณในP R ในทางกลับกันคนหนึ่งได้พยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าหากมีการใช้ภาษาในP Rคือคำนวณแม้สำหรับการแก้ไข oracle สุ่มRแล้วในความเป็นจริงว่าภาษาจะต้องอยู่ในลิตรเมตรo s T P$P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$$R$$AlmostP$

คำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือว่ามีความน่าจะเป็น 1 ในการสุ่ม oracle หรือไม่$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

ถ้าเป็นเช่นนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: ถ้าดังนั้นมีความน่าจะเป็น 1 ในการสุ่ม oracle Rภาษาเดียวที่เป็นพยานในการแยก oracle P R ≠ N P Rเป็นภาษาที่ไม่สามารถคำนวณได้$P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

ใช่.

เป็นครั้งแรกนับตั้งแต่มันเอาฉันนาทีที่จะคิดออกนี้ตัวเองให้ฉันเป็นระเบียบแบบแผนความแตกต่างระหว่างคำถามของคุณและลิตรเมตรo s T P ; มันคือลำดับของปริมาณ A l m o s T P : = { L : P r R ( L ∈ P R ) = 1 }และผลลัพธ์ที่คุณพูดถึงคือ∀ L$\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ 1 ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องคุณกำลังถามว่า P r R ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ 1$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

พิจารณา

)$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

โดยสหภาพผูกไว้ที่เป็นบนขอบเขตโดยΣ L ∈ C O M P P R R ( L ∈ P R ∖ B P P ) (โปรดทราบว่าผลรวมหลังนับได้) ตอนนี้ตามกฎหมาย 0-1 - ซึ่งใช้เนื่องจากข้อความที่เกี่ยวข้องทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงหากเราเปลี่ยนRอย่างมาก - ความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลในผลรวมนี้เป็น 0 หรือ 1 ถ้า คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือไม่แล้วp = 1ดังนั้นจะต้องมีL ∈ C O M Pเช่นนั้น$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ 1 แต่ตรงกันข้ามนี้ความจริงที่ว่าลิตรเมตรo s T P = B P P$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

ปรับปรุง 10 ตุลาคม 2014 : เป็นแหลมออกในความคิดเห็นโดยเอมิล Jerabek ที่โต้แย้งเช่นเดียวกับMกับN P Rเนื่องจากเรายังไม่ทราบว่าลิตรเมตรo s T N P = M$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

เขายังชี้ให้เห็นว่าเราไม่ได้ใช้อะไรเกี่ยวกับนอกจากนั้นเป็นคลาสที่นับได้ซึ่งมีB P P (resp., A M ) ดังนั้น "บทสรุปที่น่าสนใจ" ใน OQ จึงนำไปใช้กับคลาสภาษาใด ๆ ที่นับไม่ถ้วนCที่มีA M : หากP = N Pภาษา "เท่านั้น" ที่เป็นพยานในการแยก oracle P R ≠ N P Rอยู่นอก$\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$. แต่คำแถลงหลังรู้สึกค่อนข้างทำให้เข้าใจผิดสำหรับฉัน (มันทำให้ดูเหมือนว่าสำหรับใด ๆ ที่เราสามารถพิจารณาC = A M ∪ { L 0 }และดังนั้น "แสดง" ที่ไม่มีL 0ตระหนักถึงN P R ≠ P R , ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี) ค่อนข้างเขียนออกมาเป็นสัญลักษณ์เราได้แสดง:$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

ถ้าดังนั้น∀ นับได้  C ⊇ A $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

$R$$R$$Pr_R$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C} \cup \{L_0\}$$R$

ในขณะที่ลำดับของตัวปริมาณระหว่างสิ่งที่คุณถามกับ P เกือบจะต่างกัน แต่ก็ไม่ยากเกินไปที่จะแสดงว่ามันเทียบเท่า ครั้งแรกสำหรับ L คงที่คำถามว่า L \ in P ^ O ไม่ได้ขึ้นอยู่กับส่วนเริ่มต้นที่ จำกัด ใด ๆ ของ O. ตามด้วยความน่าจะเป็นที่ L \ in P ^ R เป็น 0 หรือ 1 จากเกือบ - ผลลัพธ์สำหรับแต่ละ L ที่คำนวณได้ซึ่งไม่ได้อยู่ใน BPP คำตอบคือ 0 ในขณะที่ถ้า L \ in BPP ความน่าจะเป็นคือ 1 เนื่องจากมี L ที่คำนวณได้มากมายเราสามารถทำการรวมกลุ่มได้ การรวมกันของความน่าจะเป็น 0 ที่นับได้มีความเป็นไปได้ 0 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่มีการคำนวณ L ที่ไม่ได้อยู่ใน BPP แต่ใน P ^ R คือ 0 เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นที่มีภาษาใน BPP ไม่ใช่ P ^ R,