ขนาดต่ำสุดของวงจรที่คำนวณ PARITY คืออะไร

มันเป็นผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ทุกวงจรพัดลมใน 2 และ - หรือ - ไม่ใช่ที่คำนวณ PARITY จากตัวแปรอินพุตมีขนาดอย่างน้อย$3(n-1)$และนี่คือชาร์ป (เรากำหนดขนาดเป็นจำนวนของ AND และ OR หรือ) การพิสูจน์นั้นเกิดจากการกำจัดประตูและดูเหมือนว่าจะล้มเหลวหากเรายอมให้มีการเข้าพัดลม กรณีนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างไร

ไม่มีใครรู้ตัวอย่างเมื่อมีการช่วยเหลือแฟนมากกว่าเช่นเราต้องการประตูน้อยกว่า$3(n-1)$

อัปเดตวันที่ 18 ต.ค. Marzio แสดงให้เห็นว่าสำหรับ$n=3$ถึง$5$ประตูที่เพียงพอโดยใช้รูปแบบ CNF ของ PARITY นี่แสดงถึงขอบเขตของ$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$ทั่วไปnคุณทำได้ดีกว่านี้ไหม$n$

เป็นไปได้ที่จะคำนวณความเท่าเทียมกันโดยใช้ประตู 2.33n + C เท่านั้น การก่อสร้างค่อนข้างง่ายและได้รับในบทความนี้

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

นี่คือตัวอย่างของวงจรสำหรับความเท่าเทียมกันของตัวแปร 6 ตัวที่ใช้เพียง 12 ประตูเท่านั้น (แต่ละประตูคือ AND-gate วงกลมที่อยู่ใกล้กับทางเข้าของประตูหมายความว่าอินพุตนี้กลับด้าน) โปรดทราบว่าวงจรสำหรับความเท่าเทียมกันของตัวแปร 6 ตัวที่สร้างขึ้นโดยการซ้อนบล็อก DNF (เช่นในขอบเขตบนของ Marzio) ประกอบด้วย 13 ประตู

ฉันตรวจสอบแล้วว่าสำหรับ n = 2,3,4,5,6 ขนาดของวงจรที่เหมาะสมที่สุดคือ 3,5,8,10,12 ค่าเหล่านี้ยังมีขนาดของวงจรที่ให้ขอบเขตบน 2.33n ฉันยังไม่รู้ว่า 2.33n เป็นขนาดของวงจรที่เหมาะสมที่สุดสำหรับทุก n ยิ่งกว่านั้นฉันไม่รู้ขนาดของวงจรที่เหมาะสมที่สุดสำหรับความเท่าเทียมกันของตัวแปร 7 ตัว (มีค่าที่เป็นไปได้สองค่าคือ 14 และ 15)

ขอบล่างของการกำจัดประตูนี้ไม่ตรงกับขอบบนของ Marzio แต่เป็นการเริ่มต้น

ข้อเสนอ:ทุกวงจร fan-in และ / หรือ / น็อตไม่ จำกัด ขอบเขตในตัวแปรมีอย่างน้อย2 n - 1และและหรือ$n\ge2$$2n-1$

เพื่อความสะดวกฉันจะใช้แบบจำลองที่มีเพียงประตูเท่านั้นและประตู แต่เราอนุญาตให้ใช้สายปฏิเสธ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าประตูจำเป็นสำหรับn = 2ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้าCเป็นวงจรการคำนวณวงจรขนาดเล็กที่สุดในn > $3$$n=2$$C$$n>2$ตัวแปรเราสามารถหาข้อ จำกัด ของตัวแปรหนึ่งที่ฆ่าอย่างน้อย สองประตู

หากตัวแปรบางตัวมีอย่างน้อยสองพาเรนต์เชิงบวก (กล่าวคือมันถูกเชื่อมต่อโดยสายที่ไม่ได้รับการเชื่อมต่อไปยังประตูสองบานที่ต่างกัน) การตั้งค่าตัวแปรนี้เป็น0จะฆ่าผู้ปกครองและเราจะเสร็จสิ้น เช่นเดียวกันหากมีพ่อแม่ติดลบสองคน เราอาจสันนิษฐานว่าตัวแปรแต่ละตัวมีค่าเป็นบวกมากที่สุดและมากที่สุดหนึ่งค่าลบ$x_i$$0$

ให้ประตูระดับล่างในวงจร โดยไม่สูญเสียของทั่วไป, = x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ตั้งค่าx 1 = 0ซึ่งบังคับให้= 0และฆ่ามัน จำกัด วงจรC 'ยังคงคำนวณความเท่าเทียมกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันขึ้นอยู่กับx 2จึงx 2มีผู้ปกครองเชิงลบข= ¬ x 2 ∧ ค1 ∧ ⋯ ∧ ค R สังเกตว่าใน$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$ไม่มีคเจขึ้นอยู่กับ x 2 หากมีการมอบหมายให้ x 3 , … , x nซึ่ง (ด้านบนของ x 1 = 0 ) ทำให้ c jเป็นเท็จวงจรที่ถูก จำกัด โดยการมอบหมายนี้จะคงที่ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่ามันคำนวณ x 2หรือ ¬ x 2 . ดังนั้นใน C ′ทั้งหมด c jคำนวณค่าคงที่ 1และ bคำนวณ ¬ $C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$เพราะฉะนั้นเราสามารถกำจัดมันพร้อมกับ$\neg x_2$$a$

แก้ไข: ในฐานะที่ผมได้เรียนรู้จากกระดาษยูริ Kombarov ของนี้ผูกไว้ที่ต่ำกว่าเช่นเดียวกับ⌊ $2n-1$ขอบเขตบนโดยนัยโดยคำตอบของ Marzio De Biasi ซึ่งได้รับการพิสูจน์มาแล้ว$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener ความซับซ้อนของฟังก์ชั่นพาริตี้ในวงจร fan-inbound ที่ไม่ได้ จำกัด ขอบเขตความลึกไม่ จำกัดวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 85 (1991), no. 1, pp. 155–170 http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

ฉันขยายความคิดเห็นของฉัน:

1) fan-in AND gate สามารถจำลองได้โดยk - 1 fan-in 2 และประตู (และเช่นเดียวกันกับประตู OR) ดังนั้นถ้าฉันฉัน ≥ 2เป็นแฟนในของประตูกรัมฉันความสัมพันธ์ต่อไปนี้ต้องถือ:$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

นี่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมเพื่อแสดงให้เห็นว่าอาร์กิวเมนต์ของ Emil ให้อะไรหากเราลองพิสูจน์ $5n/2$ขอบเขต ที่นี่เราสามารถพยายามกำจัด 3 ประตูด้วยตัวแปรเดียวหรือ 5 ประตูพร้อมตัวแปรสองตัว

หากมีตัวอักษร 3 ตัวกับผู้ปกครองเราสามารถกำจัดทั้ง 3 ตัวด้วยตัวแปรเดียว

หากสองตัวอักษรเกิดขึ้นพร้อมกันใน 2 ประตูที่แตกต่างกันเราสามารถใช้อาร์กิวเมนต์หลักจากคำตอบของ Emil และกำจัด 3 ประตูด้วยตัวแปรเดียวอีกครั้ง