ผ่อนคลายข้อ จำกัด


10

ฉันมีคำถามความเป็นไปได้ที่สามารถกำหนดกรอบดังนี้ ฉันได้รับจุดในปริภูมิเวกเตอร์d-มิติและฉันต้องการหาจุดq ที่ใกล้เคียงที่สุดกับpที่ตรงกับชุดของ " 0ข้อ จำกัด " ของแบบฟอร์มพีdQพี0

เมื่อได้รับชุดอย่างน้อยหนึ่งใน{ q j , j S }อาจไม่ใช่ศูนย์S[1...d]{QJ,JS}

ความคิดของความใกล้ชิดแตกต่างกันไป แต่สำหรับตอนนี้มันเพียงพอที่จะถือว่าเป็นระยะทางที่สะดวกเช่น 222

มีการผ่อนคลายใด ๆ ที่รู้จักกับข้อ จำกัด เชิงเส้นที่ "ดี" ในแง่ของการให้โพลีปโป "ใกล้พอ" เพื่อประมาณข้อ จำกัด ดั้งเดิมซึ่งฉันก็ค่อนข้างยืดหยุ่นในคำจำกัดความของ "ใกล้พอ"


ข้อ จำกัด ได้รับอนุญาตให้พึ่งพาไม่ใช่เชิงเส้นบนหรือไม่? p
Warren Schudy

คุณอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับโพลีท็อปประเภทใดที่คุณต้องการได้บ้าง ลำเรือนูนของจุดที่เป็นไปได้จุดที่มีจุดประสานที่ไม่เป็นศูนย์มากที่สุดคือR dดังนั้นจึงไม่มีความหวังในการประมาณค่าตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่ดีของจุดคิวที่เป็นไปได้ qRdq
Warren Schudy

ถ้าเป็นค่าคงที่ที่ทราบล่วงหน้าแล้วสำหรับค่าคงที่ของระยะทางδคุณสามารถคำนวณจุดที่เป็นไปได้ที่อยู่ภายในδของp (ดูที่ข้อ จำกัด เดียวเท่านั้น) สำหรับตัวชี้วัดบางตัวคะแนนที่เป็นไปได้จะเป็นยูเนี่ยนของ polytopes สำหรับคนอื่นคุณอาจต้องประมาณพวกเขาด้วยวิธีนี้หรือใช้ oracle แยก จากนั้นเขียนการเข้ารหัสข้อ จำกัด เชิงเส้นที่qอยู่ภายในเปลือกนูนของสิ่งเหล่านี้ pδδpq
Warren Schudy

@warren: ข้อ จำกัด ขึ้นอยู่กับ p ในเชิงเส้น แต่ p เองนั้นไม่คงที่ (ค่อนข้างเป็นอินพุตของปัญหา) ข้อ จำกัด ดังกล่าวข้างต้นหรือเป็นข้อ จำกัด เชิงเส้นใน q_i
Suresh Venkat

คำตอบ:


7

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจปัญหาอย่างถูกต้องหรือไม่ แต่ตามที่เขียนแล้วปัญหาดูเหมือนว่าจะยอมรับความเรียบง่ายหลายอย่างและโดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาในกรณีℓ 2 2นั้นเทียบเท่ากับจุดสุดยอดน้ำหนักขั้นต่ำหากฉันไม่ผิด

  1. เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า S | = 2 ในทุกข้อ จำกัด เนื่องจากข้อ จำกัด กับ | S |> 2 เทียบเท่ากับชุดของข้อ จำกัด ที่Sวิ่งผ่านคู่ขององค์ประกอบทั้งหมดในชุดSเดิม ดังนั้นℓ 0ข้อ จำกัด สามารถมองเห็นเป็นกราฟGกับdจุด การใช้กราฟGจำกัด ที่สามารถปรับปรุงใหม่ดังต่อไปนี้: ชุดของจุดที่สอดคล้องกับพิกัดที่ฉันกับคิวฉัน = 0 จะต้องเป็นฝาครอบจุดสุดยอดของG
  2. สมมติว่าระยะทางถูกกำหนดโดยℓ 2 2หรือบางบรรทัดฐาน ในกรณีนี้จุดใด ๆ ที่qสามารถแปลงเป็นจุดq ′ที่สอดคล้องกับทุก ๆฉัน , qฉัน ∈ {0, p i }, เพียงแค่ตั้งค่าและการเปลี่ยนแปลงนี้ไม่เคยเพิ่มระยะทางจากจุดP
    Qผม'={พีผม,Qผม0,0,Qผม=0,
    . โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าระยะทางเป็นผลรวมของระยะทางพิกัดที่ชาญฉลาด (เช่นในกรณีของระยะทางℓ 2 2 ) ปัญหานั้นจะเหมือนกับปัญหาของจุดยอดที่มีน้ำหนักน้อยที่สุด

ในฐานะที่เป็นสำหรับการพักผ่อนแผ่นเสียงของปัญหาจุดสุดยอดปกที่นำไปสู่การค้นหาอย่างรวดเร็วไปเช่นเอกสารประกอบการบรรยาย (Lecture 9) โดยยูเรียลเฟก์


ค่อนข้างน่าสนใจ ฉันชอบการสังเกตเกี่ยวกับ | S | ไม่จำเป็นต้องมากกว่า 2
Suresh Venkat

มีสิ่งหนึ่งที่ใช้งานไม่ได้ ตัวแปรทั่วไปสามารถกำหนดเองได้ (ไม่ใช่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) ดังนั้นคุณไม่สามารถเข้ารหัสข้อ จำกัด LP สำหรับ "ตัวแปรที่ตั้งค่าเป็นศูนย์ได้ในรูปแบบจุดสุดยอด" สิ่งนี้กลายเป็นปัญหา (ซึ่งฉันควรจะกล่าวถึง) เนื่องจากมีข้อ จำกัด อื่น ๆ (เชิงเส้น) ในพิกัดที่ต้องรวมไว้ด้วย
Suresh Venkat

@Suresh: ถ้าคุณคิดว่าคุณพูดถึงมันจริงๆคุณสามารถแก้ไขคำถามได้เสมอ
Tsuyoshi Ito

1
@Suresh: ฉันหมายถึงการพูดว่า "ถ้าคุณคิดว่าคุณควรจะพูดถึงมัน…."
Tsuyoshi Ito
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.