การทดสอบเอกลักษณ์แบบสุ่มสำหรับพหุนามระดับสูง?

ปล่อย $f$ ถั่ว $n$- พหุนามแปรแปรเป็นวงจรคณิตศาสตร์ของขนาดโพลี$(n)$และปล่อยให้ $p = 2^{\Omega(n)}$ เป็นนายก

คุณสามารถทดสอบได้ไหม $f$ มีค่ามากกว่าศูนย์เหมือนกัน $\mathbb{Z}_p$, กับเวลา $\mbox{poly}(n)$ และความน่าจะเป็นข้อผิดพลาด $\leq 1-1/\mbox{poly}(n)$แม้ว่าระดับไม่ได้เป็นนิรนัย จำกัด ? เกิดอะไรขึ้นถ้า$f$ univariate คืออะไร

โปรดทราบว่าคุณสามารถทดสอบว่า $f$เป็นศูนย์ที่เหมือนกันในการแสดงออกอย่างเป็นทางการ โดยใช้ Schwartz-Zippel กับสนามขนาดพูด$2^{2|f|}$เพราะระดับสูงสุดของ $f$ คือ $2^{|f|}$.

ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าอินพุตของปัญหาคืออะไรและคุณบังคับใช้ข้อ จำกัด อย่างไร $p=2^{\Omega(n)}$อย่างไรก็ตามภายใต้การกำหนดสูตรที่เหมาะสมคำตอบคือไม่มีสำหรับหลายชื่อหลายชื่อเว้นแต่ NP = RP เนื่องจากการลดลงด้านล่าง

รับพลังพิเศษ $q$ ในไบนารีและวงจรบูลีน $C$ (wlog ใช้เพียง $\land$ และ $\neg$ ประตู) เราสามารถสร้างในเวลาพหุนามเป็นวงจรเลขคณิต $C_q$ ดังนั้น $C$ iff ไม่น่าพอใจ $C_q$ คำนวณพหุนามเท่ากับศูนย์ไป $\mathbb F_q$ แปล: $a\land b$ กับ $ab$, $\neg a$ กับ $1-a$และตัวแปร $x_i$ กับ $x_i^{q-1}$ (ซึ่งสามารถแสดงโดยวงจรขนาด $O(\log q)$ ใช้กำลังสองซ้ำ)

ถ้า $q=p$ เป็นสิ่งสำคัญ (ซึ่งฉันไม่คิดว่าจริง ๆ แล้วมีความสำคัญ) และมีขนาดใหญ่พอเราสามารถทำการลดค่าแบบ univariate: แก้ไขคำจำกัดความของ $C_p$ ดังนั้น $x_i$ แปลด้วยพหุนาม

$$f_i(x)=((x+i)^{(p-1)/2}+1)^{p-1}.$$ ในอีกด้านหนึ่ง $f_i(a)\in\{0,1\}$ สำหรับทุกคน $a\in\mathbb F_p$ดังนั้นถ้า $C$ เป็นที่น่าพอใจแล้ว $C_p(a)=0$ สำหรับทุกคน $a$. ในทางกลับกันสมมติว่า$C$ เป็นที่น่าพอใจพูด $C(b_1,\dots,b_n)=1$ที่ไหน $b_i\in\{0,1\}$. สังเกตว่า $$f_i(a)=\begin{cases}1&\text{if $a+i$ is a quadratic residue (including $0$),}\\ 0&\text{if $a+i$ is a quadratic nonresidue.}\end{cases}$$ ดังนั้นเราจึงมี $C_p(a)=1$ ถ้า $a\in\mathbb F_p$ เป็นเช่นนั้น $$a+i\text{ is a quadratic residue }\iff b_i=1$$ สำหรับทุกคน $i=1,\dots,n$. ข้อพิสูจน์ 5 ในPeraltaมีความหมายเช่นนั้น$a$ มีอยู่เสมอสำหรับ $p\ge(1+o(1))2^{2n}n^2$.