พหุนามใดที่นับยาก แต่ง่ายต่อการตัดสินใจ

ทุกวงจรเลขคณิต monotone คือ -circuit คำนวณพหุนามหลายตัวแปรF ( x 1 , … , x , n )ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแบบไม่ลบ รับพหุนาม f ( x 1 , … , x n ) , วงจร$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• คำนวณ ถ้าF ( ) = F ( )ถือสำหรับทุก∈ N n ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• นับ ถ้าF ( ) = F ( )ถือสำหรับทุก∈ { 0 , 1 } n ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• ตัดสินใจ ถ้าF ( ) > 0ว่าเมื่อฉ( ) > 0ถือสำหรับทุก ∈ { 0 , 1 } n $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

ฉันรู้ว่าชื่อพหุนามที่ชัดเจน (แม้แต่หลายเส้นตรง) แสดงให้เห็นว่าช่องว่างขนาดวงจร "คำนวณ / นับ" สามารถชี้แจง คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับช่องว่าง "จำนวน / ตัดสินใจ"$f$

คำถามที่ 1: มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับพหุนามซึ่งนับได้ยากกว่าการตัดสินใจโดย{ + , × } -circuits หรือไม่? $f$$\{+,\times\}$

ในฐานะที่เป็นผู้สมัครที่เป็นไปได้หนึ่งอาจจะใช้เส้นทางพหุนามที่มีตัวแปรตรงกับขอบของสมบูรณ์กราฟบน{ 1 , ... , n }และแต่ละสอดคล้อง monomial ไปยังเส้นทางที่เรียบง่ายจากโหนด1ไปยังโหนดnในK n พหุนามนี้สามารถตัดสินใจได้โดยใช้วงจรขนาดO ( n 3 ) ในการใช้งานอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของ Bellman-Ford และมันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าทุกการคำนวณวงจร{ + , × $K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$เส้นทางจะต้องมีขนาด ) $2^{\Omega(n)}$

ในทางตรงกันข้ามทุกวงจรนับ PATH แก้ปัญหาเส้นทางคือนับจำนวนของ1 -to- nเส้นทางในที่ระบุโดยสอดคล้อง0 - 1 subgraph ใส่ของK n นี่คือสิ่งที่เรียกว่า# Pปัญหาที่สมบูรณ์ ดังนั้นเราทุกคน "เชื่อ" ว่า PATH ไม่สามารถนับจำนวน{ + , × } -circuits ที่มีขนาดพหุนามได้ ปัญหา "เท่านั้น" คือการพิสูจน์นี้ ... $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าทุก ๆ -circuit การนับพหุนามHamiltonian เส้นทางที่เกี่ยวข้องกับHP ต้องใช้ขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียล Monomials ของพหุนามนี้สอดคล้องกับ1 -to- n path ในK nที่มี nodes ทั้งหมด แต่น่าเสียดายที่การลดลงของ# HP เพื่อ#เส้นทางโดยองอาจต้องใช้ในการคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ Vandermonde และด้วยเหตุนี้ไม่สามารถดำเนินการโดย{ + , × } -circuit$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

คำถามที่ 2:มีใครเห็นการลดเสียงเดียวของ HP เป็น# PATH หรือไม่ $\#$$\#$

และในที่สุดก็:

คำถามที่ 3:มีการพิจารณา "รุ่นเสียงเดียว" ของคลาส Pทั้งหมดหรือไม่ $\#$

หมายเหตุ : ฉันกำลังพูดถึงคลาสที่ จำกัด อย่างมาก: วงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน ! ในชั้นเรียนของวงจรคำถามที่ 1 จะไม่ยุติธรรมที่จะถามเลย: ไม่มีขอบเขตต่ำกว่าΩ ( n log n )สำหรับวงจรดังกล่าวแม้ว่าจะต้องคำนวณพหุนามทั้งหมด อินพุตในR nเป็นที่รู้จักกัน ยิ่งไปกว่านั้นในชั้นเรียนของวงจรดังกล่าวมี "โครงสร้างอะนาล็อก" ของคำถามที่ 1 - มีพหุนามสมบูรณ์# Pซึ่งสามารถตัดสินใจได้โดยโพลี - ขนาด{ + , $\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$วงจร? - มีคำตอบยืนยัน เป็นเช่นตัวอย่างเช่นค่า PER พหุนามถาวร = Σ ชั่วโมง∈ S n Π n ฉัน= 1 x ฉัน, เอช( ฉัน ) $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

เพิ่ม: Tsuyoshi Ito ตอบคำถามข้อที่ 1 ด้วยเคล็ดลับง่ายๆ ถึงกระนั้นคำถาม 2 และ 3 ยังคงเปิดอยู่ สถานะการนับของ PATH นั้นน่าสนใจในตัวมันเองทั้งคู่เพราะมันเป็นปัญหา DP มาตรฐานและเพราะ # P-complete

(ฉันโพสต์ความคิดเห็นของฉันเป็นคำตอบเพื่อตอบสนองต่อคำขอของ OP)

สำหรับคำถามที่ 1 ให้f _n : {0,1} ⁿ →ℕเป็นตระกูลของฟังก์ชั่นที่วงจรทางคณิตศาสตร์ต้องใช้ขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียล ดังนั้นf _n +1 จึงเป็นเช่นนั้นแต่f _n +1 นั้นง่ายต่อการตัดสินใจโดยวงจรเลขคณิตแบบเล็กน้อย หากคุณต้องการหลีกเลี่ยงค่าคงที่ในวงจรเลขคณิต monotone ให้f _n : {0,1} ⁿ →ℕเป็นกลุ่มฟังก์ชันที่วงจรเลขคณิตของf _nต้องการขนาดแทนและf _n (0, …, 0) = 0 และพิจารณาฉ_n + x ₁ + ... + x n