ปัญหา NP-Complete ตามธรรมชาติกับพยาน“ ใหญ่”

28

คำถามเกี่ยวกับ cstheory " NP มีข้อ จำกัด สำหรับพยานขนาดเชิงเส้นคืออะไร " ถามเกี่ยวกับระดับ NP ที่ จำกัด ขนาดพยานเชิงเส้นแต่ $O(n)$

มีปัญหาธรรมชาติที่ทำให้สมบูรณ์ NP ซึ่งอินสแตนซ์ขนาดต้องมีพยานที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือไม่? $n$ $n$

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถสร้างปัญหาเทียมเช่น:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

หลังจากที่ดูอย่างรวดเร็วที่ G & J ทุกปัญหา NPC ธรรมชาติดูเหมือนว่าจะมีพยาน (อย่างเคร่งครัด) มีขนาดเล็กกว่าn $n$

มี "เหตุผล / คำอธิบาย" สำหรับมันหรือไม่?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

1

ปัญหามากมายมีขนาดของพยานเช่นกราฟมอร์ฟิซึ่มและเส้นทางมิลโตเนียน คุณต้องการที่จะแยกปัจจัยของ polylog หรือนับเป็นคำตอบหรือไม่?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— Joshua Grochow

12

ที่จริงแล้วขนาดพยานสำหรับ Isomorphism กราฟและเส้นทาง Hamiltonian อาจถูกมองว่าเป็นเส้นแบ่งย่อยในอินพุต (เนื่องจากอินพุตคือเมทริกซ์ adjacency ของกราฟ)

n \times n

$n \times n$

— Ryan Williams

1

โอ้ใช่แล้ว ...

— Joshua Grochow

1

@MarzioDeBiasi ฉันคิดว่าการสังเกตของคุณเป็นพยานตัวเล็ก ๆ ควรจะใช้ในการกำหนดปัญหาที่สมบูรณ์ตามธรรมชาติ

— Mohammad Al-Turkistany

1

@MarzioDeBiasi - ฉันยอมรับว่ารายการของการมอบหมายที่น่าพอใจเพียงพอ แต่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีพยานที่สั้นกว่าสำหรับปัญหาหรือไม่ (อาจเป็นวิธีที่ย่อของการมอบหมายที่จำเป็น)

— RB

10

วิธีการเกี่ยวกับจำนวนการระบายสีขอบในกราฟหนาแน่น ( ดัชนี Chromatic ) คุณจะได้รับเมทริกซ์ถ้อยคำของจุดสุดยอดกราฟ (อินพุตบิต) แต่ธรรมชาติพยานอธิบายสีมีขนาดn แน่นอนอาจจะมีหลักฐานอันสั้นสำหรับชั้น 1 กราฟในทฤษฎีบท Vizing ของ $n$ $n^2$ $n^2\log n$

ดูคำถามนี้ที่เกี่ยวข้องซึ่งอาจเป็นไปได้

— Andreas Björklund
แหล่งที่มา

2

ดูเหมือนเป็นตัวอย่างที่ดี! เพียงทราบ: ปัญหาคือปัญหาที่สมบูรณ์แม้สำหรับลูกบาศก์กราฟ ในกรณีนี้เรามีพยานขนาดบิตก็เพียงพอ (สองบิตสำหรับทุก ๆ ขอบ) ซึ่งน้อยกว่าถ้าเราใช้การแทนเมทริกซ์ adjacency และฉันสงสัยว่ามันมีขนาดเล็กกว่าอินสแตนซ์ขนาดเท่าที่การเข้ารหัสที่สมเหตุสมผลที่เราใช้สำหรับลูกบาศก์ลูกบาศก์

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Marzio De Biasi

8

ฉันมาพร้อมกับปัญหาที่ค่อนข้างสมบูรณ์แบบเป็นธรรมชาติที่ดูเหมือนจะต้องมีพยานมานาน ปัญหาที่แปรโดยจำนวนเต็มและมีดังนี้: $C$ $D$

อินพุต: คำถาม TMแบบเทปเดียว:มีบางส่วนเช่นนั้นซึ่งทำมากกว่าขั้นตอนสำหรับอินพุตที่มีความยาวหรือไม่ $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

บางครั้งส่วนประกอบของปัญหาจะง่ายต่อการรัฐ: การไม่รับหนึ่งเทป TMทำงานในเวลาคือ มันทำอย่างมากที่ขั้นตอนในอินพุตทั้งหมดของขนาด , สำหรับทั้งหมดหรือไม่ $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

ผลเต็มรูปแบบที่จะนำเสนอที่นี่ โดยทั่วไปจะแสดงให้เห็นว่าถ้าเราต้องการตรวจสอบว่าหนึ่งเทป TM ทำงานในเวลาเราจะต้องตรวจสอบนี้ในอินพุตความยาวล้อมรอบด้วยโดยที่คือจำนวน ของสถานะของอินพุต TM ดังนั้นพยานจะเป็นอินพุตที่มีความยาวที่เวลาถูกละเมิด มันยังแสดงให้เห็นในการอ้างอิงว่าปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับและทั้งหมด $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

ตอนนี้ถ้าพยานเป็นข้อมูลที่ละเมิดเวลาทำงานมันจะต้องมีความยาวโดยทั่วไป และใส่เป็นของความยาว2) $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— เดวิดจี
แหล่งที่มา

3

ขอบคุณ! แต่ตามความจริงฉันพบว่า "ธรรมชาติ" มากขึ้น (ฉันรู้ว่ามันไม่ใช่แนวคิดที่เป็นทางการ) ปัญหา: "ให้สูตรตัดสินใจว่าจะมีอย่างน้อยงานที่น่าพอใจ" :-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio De Biasi

ฉันเข้าใจ :). ในทางตรงกันข้ามปัญหาเกี่ยวกับมีความยาวของพยานในคำถามในขณะที่ปัญหาเกี่ยวกับ TMs ได้รับความยาวของพยานในการพิสูจน์ อะไรคือสิ่งที่ความยาวของพยานจะไม่จงใจรวมเข้าไปในปัญหาที่เกิดขึ้น

φ

$\varphi$

— David G

7

นี่คือตัวอย่างซึ่งปรากฏเป็นปัญหาตามธรรมชาติ

เช่น:จำนวนเต็มบวกและทั้งหมดกระโดดจากข้างต้นโดยn $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

คำถาม:มีกราฟ -colorable พร้อมลำดับระดับ หรือไม่? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

นี่คือการป้อนข้อมูลที่สามารถอธิบายกับบิต แต่พยานอาจต้องบิต $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

หมายเหตุ:ฉันไม่มีการอ้างอิงว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นจริง แต่ความต้องการของ -colorability สามารถถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่สมบูรณ์ NP อื่น ๆ ; ปัญหาน่าจะกลายเป็นปัญหาสมบูรณ์ในบางกรณีหากไม่ใช่สำหรับปัญหานี้ $k$

— Andras Farago
แหล่งที่มา

สำหรับฉันปัญหานี้มีโครงสร้างที่ไม่ถูกต้องที่จะทำให้ NP สมบูรณ์ยกเว้น P = NP คลาสของกราฟที่กำหนดโดยลำดับการศึกษาระดับปริญญาแต่ละคนสามารถมีขนาดใหญ่มากและมากของพวกเขาอาจจะมีองค์ประกอบ -colourable สำหรับเหตุผลที่น่ารำคาญ

n

$n$

— András Salamon

@ AndrásSalamonแท้จริงแล้วฉันไม่ทราบว่าความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไรหรือไม่หรือว่าสามารถทำให้ NP-complete โดยการเลือกเงื่อนไขที่เหมาะสมแทน -colorability ในทางกลับกันฉันจะประหลาดใจถ้าสำหรับทุกคุณสมบัติที่ตรวจสอบได้ในช่วงเวลาปัญหาต่อไปนี้จะเป็นP : มีกราฟที่มีลำดับระดับที่กำหนดหรือไม่เช่นนั้นก็มีคุณสมบัติหรือไม่

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Andras Farago

ฉันยอมรับว่าไม่น่าจะเป็นไปได้ที่ลำดับองศา + คุณสมบัติอยู่ใน P เสมอ แต่บางทีสิ่งเหล่านี้บางตัวเป็นผู้สมัครสำหรับสถานะระดับกลาง - กลาง?

— András Salamon

@ AndrásSalamonใช่ฉันสามารถจินตนาการได้ว่าบางคนมีสถานะ NPI

— Andras Farago

6

บางทีนี่อาจเป็น "เหตุผล / คำอธิบาย" โง่ ๆ แต่สำหรับปัญหา NP-Complete จำนวนมากวิธีแก้ปัญหาคือชุดย่อยของอินพุต (เป้, ปกจุดสุดยอด, กลุ่ม, ชุดควบคุม, ชุดอิสระ, ตัดสูงสุด, ผลรวมเซตย่อย, ... ) หรือการเรียงสับเปลี่ยนหรือการกำหนดให้กับชุดย่อยของอินพุต (เส้นทางแฮมิลโตเนียน, พนักงานขายที่เดินทาง, SAT, กราฟมอร์ฟิสม์, การระบายสีกราฟ, ... )

เราสามารถลองอ่านมากกว่านี้หรือคิดหาเหตุผลที่เพ้อฝันมากขึ้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามีอะไรเกิดขึ้นหรือไม่

— usul
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่เป็น "ความคิดแรก" ที่ดีแน่นอน บางครั้งปัญหาก็ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น SAT อาจเป็นปัญหาชุดย่อย ("เลือกชุดย่อยของตัวแปรจริง") หรือ HAMCYCLE เป็นปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนบนจุดยอดหรือปัญหาเซตย่อยบนขอบ? (BTW อาจเป็น "ปัญหาการมอบหมาย" อาจเป็น "ปัญหาพาร์ทิชัน" จริง ๆ ลองนึกถึง 3 สี)

— Juho

3

สำหรับคำถามแรกของคุณ Allender States (ในการขยายขอบเขตที่ต่ำกว่าด้วยวิธีการลดความสามารถในตนเอง ) ที่ไม่มีปัญหาธรรมชาติที่สมบูรณ์ของปัญหา NP อยู่นอก NTIME (n) ซึ่งหมายความว่าชุด NP-Complete ธรรมชาติที่รู้จักทั้งหมดมีพยานเป็นเส้นตรง

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

1

โปรดทราบว่าความยาวของเส้นทางการยอมรับที่ยาวที่สุดในเครื่องทัวริง nondeterministic นั้นสอดคล้องกับขนาดของพยาน

— Mohammad Al-Turkistany

1

พิจารณาตัวแปรต่อไปนี้ของปัญหาMAXCLIQUE

เช่น:วงจรกับบิตการป้อนข้อมูลและขนาด จำกัด polynomially ในnวงจรนี้จะกำหนดกราฟบนจุดยอดซึ่งจุดยอดแต่ละจุดจะถูกระบุด้วยสตริง bit และจุดยอดสองจุดเชื่อมต่อกับขอบถ้าสตริง -bit ที่ได้มาจากการเชื่อม ID ทั้งสองจุดนั้นคือ รับการยอมรับจากCให้แทนกราฟนี้ หมายเหตุว่ามันมีจุดหลายชี้แจงในแต่ยังคงถูกกำหนดโดยคำอธิบายขนาดพหุนามC $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

คำถาม: Doesประกอบด้วยก๊กขนาดที่เป็นค่าคงที่ถาวร? $G(C)$ $n^k$ $k$

หมายเหตุ:

ปัญหาคือปัญหาสมบูรณ์ การบรรจุในนั้นชัดเจน ความสมบูรณ์สามารถพิสูจน์ได้โดยการสังเกตว่าถ้าวงจรยอมรับเฉพาะจุดคู่ที่แต่ละ ID มีค่ามากที่สุดดังนั้นจะเป็นกราฟ -vertex โดยพลการบวกกับจุดยอดที่แยกได้จำนวนมาก ( กราฟเวอร์เท็กซ์ใด ๆสามารถเข้ารหัสในเนื่องจากอนุญาตให้มีขนาดพหุนามในและดังนั้นใน ) คำถามก็จะกลายเป็น: มีกลุ่มย่อยขนาดใน -vertex กราฟ? นี้เป็นที่รู้จักกัน NP-สมบูรณ์ทั่วไปไม่มีปัญหาที่ $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ $N$ $N$ ไม่ใช่โดยพลการมันถูก จำกัด ไว้ที่สามารถกำจัดได้โดยการขยายที่เหมาะสม $N=2n^k$
พยานตามธรรมชาติของปัญหาดั้งเดิมคือกลุ่ม sized ซึ่งสามารถอธิบายได้โดยสตริงยาว (สตริง bit สำหรับแต่ละจุดยอด ) โปรดทราบว่าอาจเป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่มากดังนั้นพยานอาจยาวกว่าเส้นตรงมาก (แม้ว่าขนาดอินพุตคือคำอธิบายของแทนที่จะเป็นพยานนี้ยังคงนานกว่าเดิมเนื่องจากสามารถเลือกได้อย่างอิสระจาก ) $n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
ปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถดูเป็นธรรมชาติเพราะมันเป็นตัวแปรของMAXCLIQUE
เมื่อ Allender เขียนว่า "ไม่มีปัญหาทางธรรมชาติที่เป็นปัญหาสมบูรณ์ที่อยู่นอก ," (ดูการขยายขอบเขตล่างโดยวิธีการลดความสามารถของตนเองตอนที่ 7) เขาอาจมีแนวความคิดที่เป็นธรรมชาติในใจที่แคบลง ยกตัวอย่างเช่นธรรมชาติอาจจะลดลงเป็นสิ่งที่ผู้คนจริงๆต้องการที่จะแก้ในพื้นที่ของอิสระแรงจูงใจในทางปฏิบัติ มันไม่เพียงพอหากปัญหาไม่ได้ถูกสร้างขึ้นผ่านการทแยงมุม $NTIME(n)$

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันทำตามการลด Half-Clique ของคุณเพื่อแก้ไขปัญหานี้เพื่อสร้างความสมบูรณ์ใน NP เมื่อพิจารณาอินสแตนซ์ -vertex ของ Half-Clique แล้วแมปอะไรกับวงจร

n

$n$

— András Salamon

@ AndrásSalamonให้เป็น -vertex graph ทำหน้าที่เป็นกราฟอินพุตของ Half-Clique แล้วเป็นวงจรที่ยอมรับคู่โหนดใด ๆ

ถ้า

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

(เป็นเลขฐานสอง) และ

มิฉะนั้น

ปฏิเสธ (

นี้สามารถนำไปใช้เป็นวงจรขนาดพหุนาม) จากนั้น

จะมี

บนโหนด

แรกและอีก

โหนดแยกเพิ่มเติม กราฟ

มีขนาดของกลุ่ม

อย่างแม่นยำเมื่อ

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ มีครึ่งคณะ

— Andras Farago