การคาดเดาที่ยาวนานได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดยนัย

ฉันต้องการทราบว่ามีการคาดเดาที่ไม่ได้พิสูจน์มานานแล้วใน TCS ที่ได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดยความหมายจากทฤษฎีบทอื่นที่อาจพิสูจน์ได้ง่ายกว่า

แอร์ดิชและโพโซสาพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มใด ๆและกราฟใด ๆGทั้งGมีวงรอบแบ่งkหรือมีชุดของขนาดที่จุดยอดf ( k )มากที่สุดS ∈ Gเช่นG ∖ Sเป็นป่า (ในหลักฐานf ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) )$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

คุณสมบัติErdösและPósaของกราฟที่คงที่รู้จักกันในชื่อต่อไปนี้$H$

คลาสของกราฟยอมรับแอร์ดิช-Posa คุณสมบัติถ้ามีฟังก์ชั่นฉดังกล่าวว่าสำหรับทุกกราฟH ∈ Cและสำหรับการใด ๆk ∈ ZและกราฟGทั้งมีkเคล็ดสำเนา isomorphic (WRT เล็ก ๆ น้อย ๆ หรือองค์กรปกครองส่วนท้องถิ่น) ของHในGหรือมีชุดของจุดยอดS ∈ Gเช่นนั้น| S | ≤ ฉ( k )และG ∖ Sไม่มีสำเนา isomorphic ของH$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

หลังจากที่แอร์ดิชและ Posa ของผลการเรียนของรอบซึ่งได้รับการยอมรับคุณสมบัตินี้มันเป็นคำถามเปิดที่จะหาระดับที่เหมาะสมCในกราฟผู้เยาว์ Vพิสูจน์ว่ากราฟระนาบทุกอันมีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบหรือมีกริดใหญ่ในฐานะผู้เยาว์โดยมีทฤษฎีบทกริดในมือพวกเขาแสดงให้เห็นว่าErdösและPósaมีคุณสมบัติ (สำหรับผู้เยาว์) ถ้าCเป็น ชั้นของกราฟระนาบ แม้ว่าปัญหายังคงเปิดอยู่สำหรับการแบ่งย่อย แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบท wrt เล็กน้อยนั้นง่ายและดีที่สุดเท่าที่ความรู้ของฉันไม่มีข้อพิสูจน์หากไม่ใช้ทฤษฎีบทกริด$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

ผลลัพธ์ล่าสุดของ digraphsให้คำตอบสำหรับคำถามเปิดที่ยืนยาวในพื้นที่ที่คล้ายกันสำหรับ digraphs เช่นหนึ่งคำถามพื้นฐานมากคือการที่จะมีฟังก์ชั่นเช่นว่าสำหรับกราฟGและจำนวนเต็มk , LเราสามารถหาชุดS ⊆ V ( G )ของที่มากที่สุดฉ( k + L )จุดดังกล่าวที่G - Sไม่มีรอบความยาวอย่างน้อยlหรือมีkรอบความยาวอย่างน้อยlใน$f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. นี่เป็นเพียงกรณีพิเศษ แต่สำหรับมันถูกเรียกว่าการคาดเดาของน้อง ก่อนหน้านั้นการคาดเดาของน้องได้รับการพิสูจน์โดย Reed และคณะด้วยวิธีการที่ค่อนข้างซับซ้อน$l=2$

เป็นเรื่องที่ควรกล่าวถึงว่ายังมีบางกรณีที่ไม่น่ารำคาญใน digraphs เช่นทฤษฎีบท 5.6 ในบทความข้างต้นเป็นเพียงส่วนขยายเชิงบวกของการคาดเดาของเยาวชนกับกลุ่มย่อยที่มีการเชื่อมโยงที่อ่อนแอขนาดเล็ก แต่ด้วยความรู้และเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เรามีมันไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อย ) บางทีโดยการให้ลักษณะที่ดีกว่าสำหรับกราฟเหล่านั้นจะมีวิธีที่ง่ายกว่าในการพิสูจน์

ชื่อของคำถามหมายถึง "ผลกระทบเล็กน้อย" แต่เนื้อหาไม่ได้ระบุเกณฑ์นั้นอย่างแท้จริงดังนั้นนี่คือข้อความที่ปะปนกันเล็กน้อย รายการ / ตัวอย่างหนึ่ง semifamous ที่มาใกล้กับชุดรูปแบบทั่วไปคือการพิสูจน์ของ (แล้ว ~ 4 ทศวรรษที่ผ่านมา) การคาดเดากราฟที่สมบูรณ์แบบที่แข็งแกร่งในปี 2545 โดย Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour และ Robin Thomas ปัญหาของความซับซ้อนของอัลกอริธึมในการจดจำกราฟที่สมบูรณ์นั้นกลับกลายเป็นว่ามีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกลไกการพิสูจน์ของการคาดเดากราฟที่สมบูรณ์แบบอย่างแน่นหนาแม้ว่านี่จะไม่เป็นที่รู้จักกันดี กล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือการคาดคะเนแบบเปิดอย่างไม่เป็นทางการว่า "การรับรู้กราฟที่สมบูรณ์แบบอยู่ใน P" (หรือ "ความซับซ้อนต่ำ" ฯลฯ ) ได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วโดยการสร้างการวิเคราะห์ / คุณสมบัติ / กลไกของทฤษฎีบทกราฟที่สมบูรณ์แบบ

อัลกอริทึมพหุนามสำหรับการรับรู้กราฟที่สมบูรณ์แบบ GérardCornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003