ปัญหาที่สมบูรณ์

FewPเป็นคลาสของ -problems ที่มีพหุนามผูกอยู่กับจำนวนของการแก้ปัญหา (ในขนาดอินพุต) มีเป็นที่รู้จักกันไม่มีปัญหาที่สมบูรณ์ในfewPฉันสนใจว่าเราจะยืดข้อสังเกตนี้ไปได้ไกลแค่ไหน $NP$ $NP$ $fewP$

มีสมบูรณ์ตามธรรมชาติของกับพหุนามพหุนามในขอบเขตของจำนวนคำตอบ (พยาน) หรือไม่? มีการคาดเดาที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางซึ่งจะตัดทอนความเป็นไปได้ดังกล่าวหรือไม่? $NP$

โดยธรรมชาติหมายความว่าปัญหาไม่ใช่ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการปลอมแปลงเพื่อตอบคำถาม (หรือคำถามที่คล้ายกัน) และผู้คนมีความสนใจในปัญหาอย่างอิสระ (ตามที่ Kaveh กำหนด)

แก้ไข:เงินรางวัลจะได้รับจากธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบหรือข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลตัดสินว่าปัญหาดังกล่าวมีอยู่จริง (โดยใช้การคาดเดาที่ซับซ้อนในเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อน) $NP$

แรงจูงใจ:สัญชาตญาณของฉันคือความไม่สมบูรณ์ของกำหนดพหุนามต่ำ (หรือเลขชี้กำลังเลขชี้กำลัง) ที่ต่ำกว่าตามจำนวนพยาน $NP$

cc.complexity-theory np

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

ปัญหาของสัญญา UniqueSAT อยู่ที่

(ไม่เหมือนกับ

) ซึ่งเป็นเซตย่อยของ

(ไม่เหมือนกับ

) .

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$

U P

$\mathsf{UP}$

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$

F e w P

$\mathsf{FewP}$

— Joshua Grochow

SAT จะตอบคำถามของคุณหรือไม่?

— Kaveh

นั่นคือประเด็นทั้งหมด - ไม่ใช่; การป้อนข้อมูลขนาดเป็นจำนวนบิตในการป้อนข้อมูลและ (เบาบาง) 3 นั่งกรณีมีขนาด

จำนวนตัวแปรเป็นเพียงด้านเดียว (พารามิเตอร์) ของอินพุตดังนั้นสำหรับปัญหาอื่น ๆ (พูดว่าปัญหากราฟ) หนึ่งจะต้องระบุสิ่งที่หนึ่งคือการวัดจำนวนพยานในแง่ของ ตัวอย่างเช่นสำหรับ max cut กราฟอินพุตสามารถมีขอบ

และอีกครั้งมีพยานเพียง

(ซึ่งเป็นขนาดเอ็กซ์โพแนนเชียลในขนาดอินพุต) แต่เราอยากจะวัดในแง่ของn

อย่างไรก็ตามไม่ชัดเจนว่า #vertices เป็นตัววัดที่ถูกต้อง

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— ดาเนียลโล

@ Kaveh ใช่ดังนั้นคุณควรคิดว่าโมฮัมมัดคิดเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้รู้สึกในคำถามของเขา อย่างที่คุณเห็นสวนสัตว์ที่มีความซับซ้อนเห็นด้วยกับคำจำกัดความของฉัน โดยทั่วไปในคลาสที่มีความซับซ้อนที่น่าสนใจคำจำกัดความไม่ควรเปลี่ยนแปลงหากคุณใส่อินพุตโดยพหุนาม

— domotorp

@downvoters ทำไมผู้คนถึงลงคะแนนคำถามนี้ ฉันหมายความว่าอย่างน้อยคนที่สามารถให้เหตุผลสำหรับมัน ...

— domotorp

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจมาก

ขั้นแรกให้คำชี้แจงที่ชัดเจน โปรดทราบว่า "ขีด จำกัด บนจำนวนพยาน" ไม่ใช่ทรัพย์สินของปัญหาการคำนวณต่อ se แต่มีผู้ตรวจสอบเฉพาะที่ใช้ในการตัดสินใจปัญหาเช่นเดียวกับ "ขอบเขตบนจำนวนรัฐ" จะไม่เป็น คุณสมบัติของปัญหา แต่ของเครื่องทัวริงเป็นผู้ตัดสินใจ ดังนั้นการพูดว่า " ปัญหากับขอบเขตบนของจำนวนของการแก้ปัญหา" ไม่ถูกต้องมากและถ้าแล้วทุกปัญหามีตรวจสอบที่มีจำนวนของการแก้ปัญหาที่ต้องการใด ๆ (รวมทั้งศูนย์และรวมทั้งสตริงเป็นไปได้ทั้งหมด) . $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

ดังนั้นเราจึงต้องให้คำจำกัดความเพื่อตอบคำถามของคุณ สำหรับสมมติว่าปัญหา "มีวิธีแก้ปัญหามากที่สุด " ถ้าสำหรับค่าคงที่บางค่าจะมีตัวตรวจสอบเวลาดังนั้นสำหรับทุกความยาวอินพุตและสำหรับ ทุกๆของความยาว , มีแตกต่างกัน $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ ของความยาวดังกล่าวว่ายอมรับสำหรับทุกและปฏิเสธอื่น ๆ ทั้งหมดของความยาวค $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

ทั้งหมดที่ฉันคิดว่าฉันสามารถพูดได้ในขณะนี้คือ:

ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของทุกครั้งที่ฉันรู้ (กำหนดโดยตัวตรวจสอบธรรมชาติบางตัว) มีเวอร์ชันการนับสมบูรณ์ที่สอดคล้องกันอย่างเห็นได้ชัด(พร้อมตัวตรวจสอบเดียวกัน ) $NP$ $\#P$
สำหรับการใด ๆปัญหาที่สมบูรณ์ที่กำหนดไว้กับผู้ตรวจสอบมีที่มากที่สุดการแก้ปัญหา (หรือแม้กระทั่งการแก้ปัญหา) รุ่นนับสอดคล้องกันอาจจะไม่สมบูรณ์ $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

รายละเอียดเพิ่มเติม: สมมติว่าเป็นสมบูรณ์ด้วยตัวตรวจสอบที่มีวิธีแก้ปัญหาเกือบทั้งหมด จากนั้นเวอร์ชัน "การตัดสินใจ" การนับตามธรรมชาติของซึ่งเรานิยามว่าเป็น $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

คือคำนวณใน , ที่อยู่, ฟังก์ชั่น polytime กับแบบสอบถามเพื่อ Pนั่นเป็นเพราะการตัดสินใจว่าจำนวนของการแก้ปัญหาที่มากที่สุดอยู่ใน : พยานถ้ามีอยู่เป็นเพียงจำนวนทำยอมรับซึ่งเรารู้ว่าจะมากที่สุด $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ . แล้วเราสามารถค้นหาแบบไบนารีใช้นี้ปัญหาในการคำนวณจำนวนที่แน่นอนของการแก้ปัญหาเพื่อL $NP$ $L$

ดังนั้นปัญหาที่สมบูรณ์ของชนิดนี้ไม่สามารถขยายไปยังปัญหาที่สมบูรณ์ในทางปกติเว้นแต่ ]มันดูไม่น่าจะเป็นไปได้ ลำดับชั้นตลอดเวลาพหุนามโดยทั่วไปจะยุบไป ] $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

หากคุณถือว่าด้านบนคุณจะยังได้รับผลลัพธ์ที่ไม่น่าเป็นไปได้ คุณจะแสดงให้เห็นว่าสามารถคำนวณได้ในเวลาด้วยoracle มีมากเกินพอที่จะพิสูจน์ได้เช่นและต่อมา $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ . ไม่ใช่ว่าการแยกเหล่านั้นไม่น่าเป็นไปได้ แต่ดูเหมือนว่าไม่น่าจะพิสูจน์ได้ด้วยการให้เวลา subexp อัลกอริธึม oracle สำหรับปลัด $NP$

โดยวิธีการที่ฉันได้พูดอะไรที่ลึกซึ้งเกินไปที่นี่ มีข้อโต้แย้งในเรื่องนี้เกือบแน่นอน

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

แน่นอนมันเป็นคำตอบที่ชาญฉลาด

— Mohammad Al-Turkistany