วงจรเลขคณิตที่มีเกตหนึ่งเกท

เมื่อถูก จำกัด ไป -ปัจจัยการผลิตทุก -circuitคำนวณฟังก์ชั่นบางอย่าง{N} ในการรับฟังก์ชั่นบูลีนเราสามารถเพิ่มเกต gate หนึ่ง fanin-1 หนึ่งเป็นเกตเอาท์พุท บนอินพุต , threshold ที่เกิดขึ้น - วงจรจะให้ผลลัพธ์ถ้า , และเอาท์พุทถ้า ; thresholdสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ $0$ $1$ $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$ $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ แต่ไม่ได้อยู่ในค่าอินพุต วงจรส่งผลให้คำนวณบางคน (เดียว) บูลฟังก์ชั่น \} $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

คำถาม:ขีด จำกัดวงจรสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย วงจรหรือไม่ $\{+,\times\}$ $\{\lor,\land\}$

ภายใต้ "ประสิทธิภาพ" ฉันหมายถึง "โดยส่วนใหญ่แล้วการเพิ่มขนาดของพหุนาม" คำตอบนั้นชัดเจนว่า "ใช่" สำหรับ threshold : เพียงแค่แทนที่ด้วย ,โดยและลบประตูธรณีประตูสุดท้ายออก นั่นคือวงจรอยู่ในเกณฑ์จริง -วงจร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับเกณฑ์ที่มีขนาดใหญ่, การพูด, ? $t=1$ $+$ $\lor$ $\times$ $\land$ $\{\lor,\land\}$ $1$ $\{+,\times\}$ $t=2$

หนึ่งสามารถกำหนด analogues เลขคณิตของบูลชั้นเรียนมากที่สุดวงจรโดยเพียงแค่ใช้ แทน OR,แทนและและแทน\ ยกตัวอย่างเช่นวงจรมี -circuits ของความลึกอย่างต่อเนื่องกับ fanin มากมายและประตูและปัจจัยการผลิตและ1 Agrawal, Allender และ Datta ได้แสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ = 0 (จำได้ว่าตัวมันเองนั้นเหมาะสม $\#C$ $C$ $+$ $\times$ $1-x_i$ $\bar{x}_i$ $\#AC^0$ $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ $\#AC^0$ $TC^0$ $AC^0$ ส่วนย่อยของ ; ใช้พูดส่วนใหญ่ฟังก์ชั่น.) ในคำอื่น ๆ วงจรคงที่ความลึกคงที่สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยความลึกคงที่วงจรมีเพียงประตูธรณีประตูเดียว! อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าคำถามของฉันเกี่ยวกับวงจรโมโนโทน (ไม่มีเครื่องหมายลบ " " เป็นประตูและยังไม่มีเป็นอินพุต) ประตูธรณีประตู (สุดท้าย) หนึ่งสามารถแข็งแกร่งเช่นนั้นได้หรือไม่ ฉันไม่รู้เรื่องนี้ดังนั้นจึงมีคำแนะนำใด ๆ ที่เกี่ยวข้องยินดีต้อนรับ $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ $1-x_i$

NBยังมีอีกผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องที่น่าสนใจ เนื่องจากอาร์โนลด์ Rosenbloom:วงจรที่มีฟังก์ชั่นโมโนโทนเดียวเดียวเพราะประตูออกสามารถ คำนวณทุกฟังก์ชันของ slice ด้วย gates ฟังก์ชั่นชิ้นเป็นเสียงเดียวฟังก์ชั่นบูลซึ่งสำหรับบางอย่างคงที่ , เอาท์พุท (resp. ) ปัจจัยทั้งหมดที่มีน้อยกว่า (resp. มากขึ้น) กว่าคน ในทางกลับกันการนับง่ายแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นส่วนใหญ่ต้องการทั่วไปวงจรที่มีขนาดเป็นเลขชี้กำลัง ดังนั้นหนึ่งช่องสัญญาณขาออกเพิ่มเติม "ไร้เดียงสา" สามารถ $\{+,\times\}$ $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ $O(n)$ $k$ $0$ $1$ $k$ $\{\lor,\land,\neg\}$ ทำให้วงจรโมโนโทนมีอำนาจทุกอย่าง! คำถามของฉันถามว่าสิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้หรือไม่เมื่อเป็นเกตประตู fanin- $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ $1$

actualization (เพิ่ม 2014/03/11): เอมิล Jerabek ได้แสดงให้เห็น (ผ่านการก่อสร้างง่ายอย่างน่าอัศจรรย์ดูคำตอบของเขาด้านล่าง) ว่าคำตอบคือ "ใช่" ตราบใดที่ สำหรับคงคดังนั้นคำถามยังคงเปิดอยู่สำหรับธรณีประตูแบบพหุนาม (ใน ) เท่านั้น

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

โดยปกติในการใช้งานใกล้เคียงที่มีขนาดใหญ่เพียง แต่ทำงาน: เรามักจะต้องเกณฑ์ของแบบฟอร์มสำหรับ0 พูดว่าถ้านับจำนวนเส้นทาง -ในกราฟที่ระบุโดยอินพุต -ดังนั้นสำหรับกับที่ threshold-รุ่นแก้การดำรงอยู่ของมิล -ปัญหาเส้นทางกราฟ -vertex (ดูเช่นที่นี่ ) $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ $s$ $t$ $m$

(เพิ่ม 14.11.2014): เนื่องจาก Emil ได้ตอบคำถามของฉันเป็นส่วนใหญ่และเนื่องจากกรณีของเกณฑ์ exponential ไม่ปรากฏให้เห็นฉันจึงยอมรับคำตอบของ Emil (ดีมาก)

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
แหล่งที่มา

รอ…ขนาดแทนหรือไม่ ฉันคิดว่าคุณสามารถใช้ฟังค์ชั่นชิ้นในขนาดพหุนามกับบูลีนเกทได้เป็นเพียงสูตร (ซึ่งไม่สามารถใช้ผลกลางได้มากกว่าหนึ่งครั้ง) ที่ต้องมีขนาดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

— Zsbán Ambrus

@ Zsbán Ambrus: มีที่มากที่สุดวงจรที่มีขนาดแต่อย่างน้อยที่แตกต่างกันฟังก์ชั่น -slice แล้วสำหรับ ; a, b ค่าคงที่เป็นบวก

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys

Threshold 2 และอื่น ๆ โดยทั่วไปขีด จำกัด ที่ล้อมรอบด้วยสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยทำการคำนวณใน semiring\})

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

คุณได้รับ circuit โดยตรง แทนที่แต่ละโหนดกับโหนดที่คำนวณบูลีนกริยาฉัน(คุณไม่ต้องการเนื่องจากมันคำนวณค่าคงที่แต่มันลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้านล่าง) ในการเป็นตัวแทนนี้และสามารถจำลองโดยวงจรขนาด : เช่นถ้าแล้วb_k)

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

@Emil Jeřábek: ดีมาก! ตอนนี้ฉันได้เพิ่มข้อสังเกตในเรื่องนี้ ที่จริงแล้วมันอาจจะคุ้มค่าที่จะใส่ความคิดเห็นนี้เป็นคำตอบ: กรณีเกณฑ์พหุนามยังไม่ชัดเจนทันที (อย่างน้อยสำหรับฉัน)

— Stasys

คำตอบคือ“ใช่” ถ้า(1)} โดยทั่วไปเกณฑ์ -circuit ขนาดกับเกณฑ์สามารถจำลองโดย -circuit ขนาด2s) $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

ก่อนอื่นสังเกตว่ามันเพียงพอที่จะประเมินวงจรในด้วยการเพิ่มและตัดทอน: โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าจากนั้นและทั้งเช่นกันหรือ0) $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

ด้วยวิธีนี้ในใจเราสามารถจำลองวงจรกับวงจรเดียวบูลีนโดยการเปลี่ยนแต่ละโหนดกับโหนดที่มีวัตถุประสงค์เพื่อคำนวณกริยาฉัน (เราต้องเพียงเพื่อความสะดวกของสัญลักษณ์ก็คำนวณค่าคงที่ฟังก์ชั่น.) หากเป็นตัวแปรบูลีนเราจะ , 0 หากคือเกตเพิ่มให้พูดเราจะใช้มันผ่าน ประตูการคูณจะถูกจัดการในลักษณะเดียวกัน $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

นี่ใช้ประตูต่อหนึ่งประตูของวงจรดั้งเดิม ในฐานะที่เป็นการเพิ่มประสิทธิภาพเล็กน้อยเราสามารถลดมันเป็นโดยใส่ เพื่อให้แต่ละใช้เป็นอินพุตของหนึ่งในประตู $O(t^3)$ $O(t^2)$

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา