คะแนนคงที่ในการคำนวณและตรรกะ

คำถามนี้ถูกโพสต์ใน Math.SE ด้วย

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

ฉันหวังว่ามันโอเคที่จะโพสต์ที่นี่ ถ้าไม่ใช่หรือเป็นพื้นฐานสำหรับ CS.SE โปรดบอกฉันแล้วฉันจะลบมัน

ผมอยากจะทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทจุดคงที่ในตรรกะและ $\lambda$ แคลคูลัส

พื้นหลัง

1) บทบาทของคะแนนคงที่ในความไม่สมบูรณ์และไม่สามารถระบุความจริงได้

เท่าที่ฉันเข้าใจนอกเหนือจากความคิดพื้นฐานของ internalizing ตรรกศาสตร์กุญแจทั้งสองแห่งการพิสูจน์ความจริงของTarski undefinabilityและทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Goedelเป็นตรรกะจุดคงที่ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทตรรกะการใช้ชีวิตในการสร้างสรรค์ metatheory finitistic (ฉันหวังว่าการกำหนด ไม่เป็นไรโปรดแก้ไขให้ฉันถ้ามีบางอย่างไม่ถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง):

การดำรงอยู่ของคะแนนคงที่ในตรรกะ

สมมติว่า เป็นทฤษฎีที่แสดงออกอย่างชัดเจนและสามารถนับซ้ำได้มากกว่าภาษาและปล่อยให้เป็นรหัสของ -formulas ในนั่นคืออัลกอริทึมเปลี่ยน - formulas ที่มีรูปแบบตามอำเภอใจเป็น -formulas โดยมีตัวแปรอิสระหนึ่งตัวเช่นว่าสำหรับการใด ๆ -formula เรามี ) ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

จากนั้นมีอยู่ขั้นตอนวิธีเปลี่ยนรูปแบบที่ดี -formulas ในตัวแปรฟรีหนึ่งไปปิดดีขึ้น -formulas เช่นว่าสำหรับการใด ๆ -formula ในตัวแปรหนึ่งฟรีเรามีซึ่งการตีความเป็นสัญลักษณ์ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ นอกจากนี้ยังอาจจะมีการเขียนมากขึ้นดานเป็น $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นอัลกอริธึมสำหรับการสร้างคะแนนคงที่เกี่ยวกับ - equivalence ของหนึ่ง - ตัวแปรสูตร ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

แอปพลิเคชั่นนี้มีอย่างน้อยสองรายการ:

การนำไปใช้กับภาคแสดงแสดง " รหัสประโยคซึ่งเมื่อ instantiated ด้วยการเข้ารหัสของตัวเองไม่สามารถพิสูจน์ได้" ทำให้เป็นทางการของ "ประโยคนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้" ซึ่งเป็นหัวใจของการโต้แย้งของ Goedel $\phi(v)$ $v$
การนำไปใช้กับสำหรับประโยคที่กำหนดเองทำให้ Tarski ไม่สามารถระบุความจริงได้ $\neg\phi$ $\phi$

2) คะแนนคงที่ใน untyped -calculus $\lambda$

ใน untyped แคลคูลัสก่อสร้างของจุดคงเป็นสิ่งที่สำคัญในการก่อให้เกิดการทำงานแบบทั่วถึง $\lambda$

การมีอยู่ของคะแนนคงที่ใน -calculus: $\lambda$

มีความเป็นCombinator จุดคงที่ , เช่นระยะดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆระยะเรามี $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

การสังเกต

สิ่งที่ใบฉันตะลึงคือจุดคงที่ Combinator ใน -calculus สะท้อนโดยตรงในทางที่สะอาดและไม่ใช้เทคนิคการพิสูจน์ตามปกติของทฤษฎีบทจุดคงที่เชิงตรรกะ: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

มากประมาณให้สูตรหนึ่งพิจารณา formalization ของคำสั่ง " รหัสประโยคซึ่งเมื่อ instantiated กับตัวเองตอบสนอง " และทำให้ )ประโยคเป็นเหมือนและสอดคล้องกับ $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ ) $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

คำถาม

แม้จะมีแนวความคิดที่อธิบายอย่างรวดเร็ว แต่ฉันก็พบว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทจุดคงที่แบบลอจิคัลค่อนข้างเป็นเรื่องทางเทคนิคและยากที่จะดำเนินการในรายละเอียดทั้งหมด Kunen ทำเช่นนั้นในทฤษฎีบท 14.2 ของหนังสือ 'Set Theory' ของเขา ในทางกลับกัน -combinator ใน -calculus นั้นง่ายมากและมีการตรวจสอบคุณสมบัติของมันอย่างง่ายดาย $Y$ $\lambda$

ทฤษฎีจุดคงที่แบบลอจิคัลทำตามอย่างจริงจังจาก combinators จุดคงที่ใน -calculus หรือไม่? $\lambda$

ตัวอย่างเช่นหนึ่งโมเดลสามารถคำนวณ -culculus โดย -formulas ถึงความเท่ากันทางลอจิคัลได้ดังนั้นการตีความของ combinator จุดคงที่ใด ๆ ให้อัลกอริธึมตามที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบทจุดคงที่เชิงตรรกะ? $\lambda$ ${\mathcal L}$

แก้ไข

ในมุมมองของอินสแตนซ์อื่น ๆ อีกมากมายของการโต้แย้งแนวทแยงมุมเดียวกันที่อธิบายไว้ในคำตอบของมาร์ตินและโคดี้เราควรใช้คำถามใหม่:

มีการวางนัยทั่วไปของการโต้แย้งแย้งตามหลักการที่แสดงใน -combinator หรือไม่? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

หากฉันเข้าใจถูกต้องข้อเสนอหนึ่งคือทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvereดูด้านล่าง แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถทำตามความเชี่ยวชาญเฉพาะทางที่เกี่ยวข้องในบทความใดบทความหนึ่งที่มาร์ตินอ้างถึงในคำตอบของเขาและฉันก็ดีใจถ้ามีคนอธิบายได้ ก่อนเพื่อความสมบูรณ์:

ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere

ให้เป็นหมวดหมู่ที่มีผลิตภัณฑ์ จำกัด และเช่นนั้นสำหรับ morphism ในมีบางเช่นนั้นสำหรับทุกจุด ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ หนึ่งที่มี $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
จากนั้นสำหรับ endomorphism ให้ใส่ $g: Y\to Y$ ทางเลือกของการใด ๆก่อให้เกิดจุดคงที่ของคือ
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

นี่คือคำแถลงในทฤษฎีลำดับที่หนึ่ง (intuitionistic) ของหมวดหมู่ที่มีผลิตภัณฑ์ จำกัด และดังนั้นจึงใช้กับรูปแบบใด ๆ ของหลัง

ยกตัวอย่างเช่นการยึดถือทฤษฎีจักรวาลทั้งเซตในฐานะวาทกรรมแสดงความขัดแย้งของรัสเซล (รับ $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ) นอกจากนี้การแปลบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Lawvere ให้ข้อโต้แย้งแนวทแยงตามปกติ

ปัญหาที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น:

ใครสามารถอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Lawvere กับฟังก์ชันเรียกซ้ำบางส่วนหรือทฤษฎีบทจุดคงที่แบบลอจิคัล? โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราต้องพิจารณาหมวดหมู่ใด

${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

น่าเสียดายที่ฉันไม่เข้าใจความหมายนี้

$\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ เป็นเพียงฟังก์ชันบางส่วนด้วยเช่นกันดังนั้นจึงไม่สามารถนิยามได้ทฤษฎีบทจุดคงที่นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย

ประเภทหนึ่งต้องการพิจารณาอะไรจริงๆ

บางทีเป้าหมายคือการได้รับทฤษฎีจุดคงที่ของโรเจอร์ แต่อย่างใดอย่างหนึ่งควรสร้างการเข้ารหัสของฟังก์ชั่นวนซ้ำโดยตัวเลขธรรมชาติลงในคำจำกัดความของหมวดหมู่

ฉันมีความสุขมากถ้ามีคนอธิบายการสร้างบริบทที่ทฤษฎีจุดคงที่ของ Lawvere นำไปใช้ทำให้เกิดทฤษฎีบทจุดคงที่แบบตรรกะหรือทฤษฎีจุดคงที่สำหรับฟังก์ชันเวียนเกิดซ้ำ

ขอขอบคุณ!

lo.logic computability lambda-calculus

— Hanno Becker
แหล่งที่มา

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ EmilJeřábek: ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ! ฉันเข้าใจว่าจะไม่มีทางแก้ไขโค้ดที่เรียกซ้ำได้ แต่ฉันต้องการแยกอย่างชัดเจนว่าอะไรเกี่ยวกับการเข้ารหัสและสิ่งที่เป็นทางการหลังจากนั้น

— Hanno Becker

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

โคดี้คุณช่วยอธิบายได้อย่างแม่นยำว่าคุณใช้หมวดหมู่ใดเพราะนั่นคือจุดที่ฉันไม่สามารถติดตามแหล่งอื่นได้

— Hanno Becker

ฉันอาจจะไม่ตอบคำถามของคุณโดยตรง แต่มีลักษณะทั่วไปทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของความขัดแย้งมากมายรวมถึงทฤษฎีบทของGödelและ Y-combinator ฉันคิดว่านี่เป็นครั้งแรกที่สำรวจโดย Lawvere ดูเพิ่มเติม [2, 3]

FW Lawvere, ข้อโต้แย้งในแนวทแยงและประเภทปิดคาร์ทีเซียน
D. Pavlovic, เกี่ยวกับโครงสร้างของความขัดแย้ง
NS Yanofsky, วิธีสากลเพื่อตัวอ้างอิงความขัดแย้งไม่สมบูรณ์และจุดคงที่

— มาร์ตินเบอร์เกอร์
แหล่งที่มา

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker นี่อาจเป็นเรื่องยากและอ่อนไหวต่อการเข้ารหัส

— Martin Berger

ฉันไม่มีคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามของคุณ แต่ฉันมีสิ่งนี้:

ตามที่Wikipediaกล่าว

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ แต่เคล็ดลับการทำให้เป็นภายในสามารถให้คำแถลงที่ชัดเจนขึ้น

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

ตอนนี้อีกครั้งนี่ไม่ใช่ทฤษฎีบทจุดคงที่แบบลอจิคัล แต่มันสามารถตอบสนองวัตถุประสงค์เดียวกันได้

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อยคุณอาจจะสามารถทำให้ข้อโต้แย้งนี้เข้มแข็งขึ้นเพื่อให้ทฤษฎีบทเต็มแก่คุณได้โดยตรง

— Cody
แหล่งที่มา

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N^{2}, N) \to Map (N, C (N, N)) ≅ Map (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

Y

$Y$

λ

$\lambda$

φ

$\varphi$

Y

$Y$

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$

p := Y Q

$p:= Y\ Q$

λ

$\lambda$ quoteeval

Y

$Y$