ความซับซ้อนของปริศนารูปหลายเหลี่ยมที่ซ่อนอยู่ในกริดสแควร์?

Hiroimono เป็นที่นิยมปริศนาที่สมบูรณ์ ฉันสนใจในความซับซ้อนในการคำนวณของตัวต่อที่เกี่ยวข้อง$NP$

ปัญหาคือ:

การป้อนข้อมูล : ให้ชุดของจุดบนบน x nตารางสี่เหลี่ยมและจำนวนเต็ม$n$$n$$k$

คำถาม : มีรูปหลายเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ด้านข้างขนานกับหรือy -axis) อย่างนั้นจำนวนจุดบนมุมรูปหลายเหลี่ยมอย่างน้อยkหรือไม่?$x$$y$$k$

ทุกมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะต้องอยู่ที่จุดอินพุทจุดใดจุดหนึ่ง (ดังนั้นการโค้งงอจะทำได้ที่จุดอินพุทเท่านั้น)

ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร? ความซับซ้อนคืออะไรหากวิธีการแก้ปัญหา จำกัด ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นนูน?

แก้ไข 13 เมษายน: สูตรทางเลือก: ค้นหารูปหลายเหลี่ยมสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุมสูงสุดในจุดที่กำหนด

ฉันคิดว่าการลดความแปลกประหลาดนี้ (โอกาสที่มันผิดจะสูง :-) ความคิด: การลดลงจากเส้นทางมิลกราฟตารางที่มีการศึกษาระดับปริญญา ; แต่ละโหนดของกราฟระนาบสามารถเลื่อนในลักษณะที่ทุก "แถว" ( ค่าy ) และ "คอลัมน์" ( ค่าx ) ทุกคนมีมากที่สุดหนึ่งโหนด สามารถปรับขนาดกราฟและแต่ละโหนดสามารถแทนที่ด้วยแกดเจ็ตสี่เหลี่ยมที่มีหลายจุด การเชื่อมโยงแนวนอนระหว่างแกดเจ็ต (ขอบของกราฟต้นฉบับ) สร้างขึ้นโดยใช้จุดคู่ในแถวที่ต่างกันการเชื่อมโยงแนวตั้งโดยใช้จุดคู่ในคอลัมน์ที่แตกต่างกัน Traversals ของโหนดถูกบังคับให้ใช้ "หลายจุด" ของแกดเจ็ตสี่เหลี่ยม$\leq 3$$y$$x$

โหนด gadget ถูกแสดงในรูปต่อไปนี้:

มันมี 3 จุด "อินเตอร์เฟซ" (ในคอลัมน์ที่แตกต่างกัน / แถว) และเส้นขอบด้านในของC × Cจุด เส้นที่ลัดเลาะแกดเจ็ตจากจุดอินเตอร์เฟซที่หนึ่งไปยังอีกสามารถมีจำนวนของมุมที่เป็นสัดส่วนกับC (สาม traversals ของแกดเจ็ตที่มีการแสดงในรูป) โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนของจุดมุมอยู่ระหว่าง2 Cและ2 C + 2 (จำนวนแต้มทั้งหมดของ Gadget คือC × C - 4 + $[W,N,E]$$C \times C$$C$$2C$$2C+2$$C \times C - 4 + 6$) แกดเจ็ตสามารถหมุนได้เพื่อรับชุดของจุดเชื่อมต่ออื่น ๆ ( , [ E , S , W ] , [ S , W , N ] )$[N,E,S]$$[E,S,W]$$[S,W,N]$

ตอนนี้เราสามารถเปลี่ยนรูปแบบของกราฟตารางระนาบในลักษณะที่ว่าสำหรับคู่ทุกโหนด , x 1 ≠ x 2และปีที่ 1 ≠ y ที่ 2 ดูรูปต่อไปนี้ของตาราง4 × 3แบบง่าย ๆ ต่อไปเราสามารถปรับขนาดกราฟและแทนที่แต่ละโหนดด้วย Gadget ด้านบน ในขั้นตอนนี้แต่ละแกดเจ็ตจะถูก "แยก": โพลีไลน์ไม่สามารถไปจากแกดเจ็ตหนึ่งไปอีกแกดเจ็ตหนึ่งได้$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$x_1 \neq x_2$$y1 \neq y_2$$4 \times 3$

$E$$W$

$4 + 2C$$2e$

$n$$e$$C > (4n+2e)$$k = 2Cn$

$V$

ประการที่สองมีการอัปเดตที่สวยงามสำหรับงานนี้โดย Maarten Löfflerและ Elena Mumford ในกระดาษ " กราฟเส้นตรงที่เชื่อมต่อชุดเซต " วารสารการคำนวณเรขาคณิต 2 (1), 1–15, 2011 จากบทคัดย่อ:

$V$