เพียงพิมพ์แคลคูลัสแลมบ์ดาและตรรกะการสั่งซื้อที่สูงขึ้น

อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างแคลคูลัสแลมบ์ดาที่เพิ่งพิมพ์และตรรกะลำดับที่สูงขึ้น?

ภายใต้ Curry-Howard ดูเหมือนว่าแลมบ์ดาแคลคูลัสที่พิมพ์ได้จะสอดคล้องกับตรรกะเชิงประพจน์ มันเกี่ยวข้องกับตรรกะการสั่งซื้อที่สูงขึ้นอย่างไร อ้างอิงจากบทช่วยสอนนี้โดย Geuvers: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdfภาษา HOL ดูเหมือนว่าจะเป็น STT ไม่ควรเป็น PROP นั่นหมายความว่าอย่างไร?

คริสตจักรมีในใจ HOL เมื่อกำหนด STT หรือไม่

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
แหล่งที่มา

ใช่คริสตจักรมี HOL ในใจ เคล็ดลับในการรับ HOL จาก STT คือการใช้ความเท่าเทียมกันนอกเหนือจากฟังก์ชั่นการใช้งานและฟังก์ชั่นที่เป็นนามธรรม จากนั้นคุณสามารถเขียน

เป็น

และอื่น ๆ ฉันชอบ "ทฤษฎีเจ็ดประการของ Simple Type Theory" เพื่อเป็นการแนะนำ STT ซึ่งตอบคำถามประเภทนี้ บางทีฉันควรจะเขียนคำตอบ ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— โทมัส Klimpel

ดังนั้นเมื่อพูดถึง Curry-Howard อะไรจะเป็นตรรกะที่ถูกต้องเทียบเท่ากับ STT HOL หรือ PROP

— lambda2

สำหรับ Curry-Howard มันไม่คิดว่ามันจะเป็น HOL บางทีมันอาจเป็นชิ้นส่วนทวีคูณของ intuitionistic PROP เช่น intuitionistic PROP ที่ไม่มี "หรือ" แต่นั่นเป็นสำหรับ CCC (หมวดหมู่คาร์ทีเซียนปิด) และฉันเหนื่อยเล็กน้อยในขณะนี้ แลมบ์ดาอาจถูกแปลว่า "ความหมาย" ซึ่งเป็น "เลขชี้กำลัง" ใน CCC "ผลิตภัณฑ์" จาก CCC คือ "และ" ดังนั้นคุณจะต้องมี "คู่" ใน STT และ "หรือ" จะเป็น "ผลรวม" ประเภทใน STT นั้นคือสหภาพที่แยกจากกันอาจจะเป็น "ถ้า" แล้ว "b" อื่น "c" ทำเช่นนั้น

— Thomas Klimpel

ฉันคิดว่าฉันสับสนบางอย่าง (หรือทุกอย่าง) ถ้า STT ~ = PROP (ผ่าน Curry-Howard) และ STT ก็เป็น HOL ด้วยเช่นกันฉันสามารถใช้ PROP ในแง่ที่มี HOL ได้ไหม

— lambda2

@ThomasKlimpel: คุณควรเปลี่ยนความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ

— ดี้

ข้อแตกต่างคือ: ถ้า STLC ถูกนำมาใช้เป็นภาษาดั้งเดิมที่ตัวสร้างการเพิ่มระดับประเภทและสัจพจน์จำนวนเล็กน้อยก็เพียงพอที่จะให้พลังการแสดงออกอย่างเต็มที่ของ HOL

การเป็นชนิดฐานของตัวเลข ans เป็นชนิดฐานของข้อเสนอคุณสามารถเพิ่มค่าคงที่ $\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

ที่เป็นประเภทโดยพลการ (ดังนั้นหนึ่งคงที่สำหรับแต่ละประเภท) ชุดสัจพจน์ที่เป็นไปได้หนึ่งชุด: $\tau$ $\forall$

\frac{φ (x)}{\forall_{τ} (λ x . φ (x))} x : τ ไม่ฟรีในสมมติฐาน

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ φ \end{matrix}}{ψ \supset φ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— Cody
แหล่งที่มา

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

หลักการที่ฉลาดเหล่านี้คืออะไร ฉันเดาว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการจัดหาวิธีในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน ... นอกจากนี้คุณรู้จักชื่อเพื่อแยกระดับของส่วนขยาย HOL อย่างชัดเจนหรือไม่ (ด้วยความเสมอภาคจากนั้นด้วยชนิด polymorphic แล้วกับชนิดที่ขึ้นต่อกัน)

— Hibou57

@ Hibou57 หลักการที่มีการระบุไว้ในบทความดีเจ็ดคุณธรรมของง่ายประเภททฤษฎี ฉันไม่ทราบว่ามีชื่อที่ชัดเจนที่จะแยกแยะส่วนขยายที่แตกต่างกันของ STT นอกเหนือจากที่คุณใช้

— cody