จำกัด การเปลี่ยนแปลงทางเดียวด้วยโดเมนอนันต์

ให้$\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$เป็นการเปลี่ยนแปลง โปรดทราบว่าในขณะที่$\pi$ทำหน้าที่ในโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุดคำอธิบายอาจมีขอบเขต จำกัด ตามคำอธิบายผมหมายถึงโปรแกรมที่อธิบาย$\pi$ 's ฟังก์ชันการทำงาน (ดังเช่นในความซับซ้อนของ Kolmogorov) ดูคำอธิบายด้านล่าง

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่น NOT เป็นหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:

ฟังก์ชั่นไม่ (x)
    ปล่อยให้ y = x
    สำหรับ i = 1 ถึง | x |
        พลิกบิตของ y
    ส่งคืน y

$\pi_k(\cdot)$กำหนดไว้ด้านล่างเป็นอีกกรณีหนึ่ง:

ฟังก์ชั่น pi_k (x)
    ส่งคืน x + k (mod 2 ^ | x |)

คำถามของฉันเป็นเรื่องเกี่ยวกับการเรียนพิเศษของพีชคณิตเรียกว่าพีชคณิตแบบทางเดียว การพูดอย่างไม่เป็นทางการเหล่านี้คือวิธีเรียงสับเปลี่ยนซึ่งง่ายต่อการคำนวณ แต่ยากที่จะกลับด้าน (สำหรับเครื่อง$\rm{BPP}$ ) การมีอยู่ของวิธีการเรียงสับเปลี่ยนทางเดียวเป็นปัญหาที่เปิดยาวนานในการเข้ารหัสและทฤษฎีความซับซ้อน แต่ในส่วนที่เหลือเราจะคิดว่าพวกเขามีอยู่

$n = pq$$e = 65537$$\pi_n(x) = x^e \bmod n$

โปรดทราบว่าอาร์เอสมีการกำหนดช่วงโดเมน จำกัด\ในความเป็นจริงที่จะได้รับการเปลี่ยนแปลงโดเมนอนันต์หนึ่งมีการพิจารณาในครอบครัวของอาร์เอสพีชคณิต ที่เป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนเต็มบลัม โปรดทราบว่าคือคำอธิบายของตระกูลและโดยนิยามมันไม่มีที่สิ้นสุด$\mathbb{Z}_n$$\{\pi_n\}_{n\in D}$$D$$D$

คำถามของฉันคือ (สมมติว่ามีการเรียงสับเปลี่ยนแบบทางเดียว):

จะมีอยู่จำกัด คำอธิบายพีชคณิตทางเดียวผ่านโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ?

คำตอบอาจแตกต่างกัน: มันอาจเป็นบวกลบหรือเปิด (อาจเป็นไปได้ในเชิงบวกหรือมีแนวโน้มที่จะลบ )

พื้นหลัง

คำถามที่เกิดขึ้นเมื่อฉันได้อ่านASIACRYPT 2009กระดาษ ที่นั่นผู้เขียนโดยนัย (และในบริบทของการพิสูจน์บางอย่าง) สันนิษฐานว่ามีการเปลี่ยนสับเปลี่ยนทางเดียวดังกล่าวอยู่

ฉันจะมีความสุขถ้าเป็นเช่นนี้จริง ๆ แต่ฉันไม่สามารถหาหลักฐานได้

กระดาษในการสร้าง 1-1 ฟังก์ชั่นทางเดียวโดย Goldreich, Levin และ Nisan แสดงให้เห็นถึงวิธีการสร้างฟังก์ชั่นการเก็บรักษาความยาว 1-1 ฟังก์ชั่นด้วยโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุดและคำอธิบายที่แน่นอน ความแข็งของการกลับค่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับสมมติฐานยอดนิยมเช่นความแข็งของการกลับ RSA หรือการหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่อง

การก่อสร้างของพวกเขาคือการบิดความคิดที่ตรงไปตรงมาของการแปลงครอบครัวของฟังก์ชันทางเดียวเป็นฟังก์ชันทางเดียวเดียวโดยการตั้งค่าf ( r , s ) = f ฉัน ( x )โดยที่rคือ การสุ่มใช้เพื่อเลือกดัชนีiและsคือการสุ่มที่ใช้เพื่อเลือกอินพุตx (กำหนดดัชนีi )$\{f_i\}_i$$f(r,s) = f_i(x)$$r$$i$$s$$x$$i$

ปัญหาเกี่ยวกับความคิดข้างต้นคือไม่จำเป็นต้องเป็น 1-1 พวกเขาแก้ไขปัญหานี้โดยการแก้ไขf ( r , s )เล็กน้อยและให้เหตุผลว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับครอบครัว{ f i } iการก่อสร้างใหม่เป็น 1-1 จากนั้นพวกเขาก็จะแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นไปตามหน้าที่ RSA / Discrete-log$f(r,s)$$f(r,s)$$\{f_i\}_i$