สุดยอดพื้นที่ปัจจุบันลดลงสำหรับ SAT หรือไม่

สิ่งที่เป็นพื้นที่ปัจจุบันที่ดีที่สุดในขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ SAT?

ด้วยขอบเขตที่ต่ำกว่าขอบเขตฉันหมายถึงจำนวนของเซลล์เวิร์คเทปที่ใช้โดยเครื่องทัวริงซึ่งใช้ตัวอักษรไบนารีเวิร์คเทป ไม่สามารถหลีกเลี่ยงคำเติมแต่งอย่างต่อเนื่องเนื่องจาก TM สามารถใช้สถานะภายในเพื่อจำลองเซลล์เวิร์กเทปจำนวนคงที่ อย่างไรก็ตามฉันสนใจที่จะควบคุมค่าคงที่แบบหลายค่าซึ่งมักถูกปล่อยทิ้งไว้โดยปริยาย: การตั้งค่าแบบปกติอนุญาตให้มีการบีบอัดค่าคงที่โดยพลการผ่านตัวอักษรขนาดใหญ่ดังนั้นค่าคงที่แบบหลายค่าจะไม่เกี่ยวข้องกันที่นั่น

ตัวอย่างเช่น SAT ต้องการพื้นที่มากกว่า ; ถ้าไม่ใช่จากนั้นพื้นที่บนขอบนี้จะนำไปสู่เวลาบนขอบเขตของโดยการจำลองและด้วยเหตุนี้จึงรวมช่องว่างด้านล่างเวลาสำหรับ SAT จะ ถูกละเมิด (ดูคำถามที่เชื่อมโยง) นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะปรับปรุงอาร์กิวเมนต์นี้เพื่อยืนยันว่า SAT ต้องการพื้นที่อย่างน้อยสำหรับบางค่าบวกเล็ก ๆที่มีค่าโดยที่คือเลขชี้กำลังคงที่ในการจำลองพื้นที่ที่มีขอบเขต TM โดย TM ที่ จำกัด เวลา $\log\log n + c$ $n^{1+o(1)}$ $n^{1.801+o(1)}$ $\delta\log n + c$ $\delta$ $0.801/C$ $C$

น่าเสียดายที่มักจะมีขนาดค่อนข้างใหญ่ (และแน่นอนอย่างน้อย 2 ในการจำลองปกติที่เทปของ TM ถูกเข้ารหัสครั้งแรกบนเทปเดี่ยวผ่านตัวอักษรขนาดใหญ่) ขอบเขตดังกล่าวกับค่อนข้างอ่อนแอและผมจะสนใจเฉพาะอย่างยิ่งในพื้นที่ที่ต่ำกว่าผูกพันของC ขอบเขตที่ไม่มีเงื่อนไขของขั้นตอนต่ำกว่าสำหรับค่าคงตัวที่มีขนาดใหญ่พอที่จะบ่งบอกถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าด้วยการจำลอง แต่เวลาลดขอบเขตของสำหรับยังไม่ได้รู้จักกันในปัจจุบันให้อยู่คนเดียวขนาดใหญ่d $C$ $\delta \ll 1$ $\log n + c$ $\Omega(n^d)$ $d > 1$ $\Omega(n^d)$ $d>1$ $d$

ฉันกำลังมองหาบางอย่างที่จะเป็นผลมาจากการลดลงของระยะเวลาขั้นต่ำสำหรับ SAT แต่อาจเป็นไปได้ที่จะได้รับโดยตรงมากขึ้น

— András Salamon
แหล่งที่มา

เช่นเดียวกับคำตอบอื่น ๆ (เช่นโดย RW) การมุ่งเน้นไปที่เวลาหรือพื้นที่ว่างที่ต่ำกว่านั้นดูเหมือนว่าจะแยกออกจากกันและมีขอบเขตที่รู้จักกันดีเท่านั้น / อ่อนแอและการวิจัยชั้นนำในพื้นที่นั้นทำให้เกิดแนวคิดที่ค่อนข้างใหม่กว่า ของความซับซ้อนของพื้นที่เวลารวม

— vzn

คำตอบ:

ดูเหมือนว่าขอบเขตที่ดีที่สุดที่รู้จักกัน (สำหรับเครื่องมัลติทาสกิ้งทัวริง) คือลอการิทึม

สมมติว่าบิตของ worktape แบบไบนารี่เพียงพอที่จะตัดสินใจว่าสูตร bit ใด ๆ ของ bit เป็นที่น่าพอใจสำหรับที่มีขนาดใหญ่พอทั้งหมดหรือไม่ โดยการจำลองมาตรฐาน TM ที่มีรัฐที่ใช้มากที่สุดบิตของพื้นที่สามารถจำลองโดย TM ที่มีที่มากที่สุดการกำหนดค่าที่แตกต่างกัน . เมื่อใดก็ตามที่เครื่องยอมรับจะมีลำดับของ (nondeterministic) ที่เคลื่อนย้ายไปถึงสถานะการยอมรับที่ยาวที่สุดเท่าที่การกำหนดค่าจำนวนนี้ เมื่อนี่จะมากที่สุด (โปรดสังเกตว่ายังคงเหมือนเดิมสำหรับความยาวอินพุตทั้งหมด $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ ) บนเทปแยกต่างหากสามารถเขียนจำนวนนี้เป็นเอกภาพจากนั้นในแต่ละขั้นตอนของการจำลองให้ลบหนึ่งในสัญลักษณ์ของตัวนับและยุติการคำนวณถ้ามันหมดสัญลักษณ์เคาน์เตอร์ สิ่งนี้สร้างค่าคงที่ของค่าโสหุ้ย (บางอย่างเช่น 3) ซึ่งถูกดูดซับโดยเทอมในเลขชี้กำลัง ดังนั้นขั้นตอนก็เพียงพอแล้ว $M$ $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

โดยการสันนิษฐานดังนั้นผลิตภัณฑ์ที่มีเวลา - อวกาศมากที่สุด(1))} $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

Rahul Santhanam แสดงในปี 2544 (ดูดอย: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 ) ว่าผลิตภัณฑ์อวกาศ - เวลาสำหรับเครื่องจักรทัวริงตัดสินใจเลือก SAT อย่างน้อยที่สุด ; ข้อโต้แย้งของเขานำไปใช้กับเครื่องจักรแบบไม่ระบุชื่อ ดังนั้นและอย่างน้อยบิตของ worktape ไบนารีจำเป็น $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

โดยทั่วไปเวิร์กสเปซเพิ่มเติมและตัวอักษรเวิร์คสเคปขนาดใหญ่จะเปลี่ยนเลขชี้กำลังด้วยค่าคงที่ ในท้ายที่สุดนี้จะช่วยลดปัจจัยแต่พื้นที่ที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่ายังคงn) $\delta$ $\Omega(\log n)$

— András Salamon
แหล่งที่มา

บางทีเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตต่ำกว่าสำหรับ SAT ด้วยวิธีนี้ (แต่ฉันไม่มั่นใจกับการวิเคราะห์แบบ จำกัด / เชิงเส้นดังนั้นคำตอบของฉันอาจผิดทั้งหมด) $\log n$

บนโมเดลเครื่องจักรทัวริงที่มีเทปอินพุตแบบอ่านอย่างเดียวและเทปงานหนึ่งเทปทั้งบนตัวอักษรไบนารีสำหรับผู้ตัดสินใจทุกคนที่มีอยู่ในอินพุตขนาดเรามีสิ่งต่อไปนี้: $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T (n) \leq c 2^{S (n)} n S (n) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

มิฉะนั้นเครื่องทัวริงจะวนซ้ำตลอดไป (องค์ประกอบแทนการกำหนดค่าเทปที่เป็นไปได้ทั้งหมดองค์ประกอบแทนตำแหน่งหัวเทปอินพุตขณะที่องค์ประกอบแสดงตำแหน่งหัวเทปทำงาน ในเทปหนึ่งหัว TM เดียวมากกว่าตัวอักษรไบนารี (1) กลายเป็น(n) $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

การคูณทั้งสองคำด้วยและการใช้การแลกเปลี่ยนเวลาว่างทั่วไปสำหรับ SAT เราได้รับ: $S(n)$

n^{1.801 + o (1)} \leq S (n) \cdot T (n) \leq c S (n)^{2} 2^{S (n)} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

ดังนั้นการเลือกช่องว่างบนขอบเขตเช่นสำหรับ SAT จะนำไปสู่การขัดแย้งแน่นอน $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{c ((\log n)^{1 - ϵ})^{2} 2^{(\log n)^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - (\log n)^{1 - ϵ}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ดูเหมือนจะมีวิธีการทั่วไปอย่างน้อยสองวิธีในการแสดงว่าขอบเขตบนนำไปสู่ความขัดแย้ง ส่วนใหญ่ที่ผมมีอยู่ในใจโดยใช้ (เป็นหลักเหมือนกัน แต่ง่ายขึ้นเล็กน้อยเพื่อให้ทำงานร่วมกับ) ความไม่เท่าเทียมกันสำหรับบางคงCขั้นตอนสุดท้ายให้คุณยังสามารถทำที่แข็งแกร่งเป็นความขัดแย้งต่อไปนี้แม้จะมาจากสำหรับ C

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: บนฝั่งคุณไม่สามารถคาดหวังการปรับปรุงได้ง่าย: จาก S. Buss และ R. Williams ข้อ จำกัด ในการพิสูจน์การซื้อขายสำรองสำหรับขอบเขตล่างของ Time-Space, 2012: "เราแสดงให้เห็นว่าเทคนิคใหม่มีความจำเป็นอย่างยิ่งในการพิสูจน์เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าช่องว่างเวลาที่ดีกว่าสำหรับปัญหาความพึงพอใจนั่นคือวิธีการ" หลักฐานที่ใช้ในการพิสูจน์ว่า SAT ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาและพื้นที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าขอบล่างของเวลาสำหรับ "ทุกครั้ง คุณมีความคิด :-) ไหม?

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— Marzio De Biasi

ฉันคิดว่านี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับที่ใคร ๆ ก็สามารถใช้ขอบเขตเวลาว่างได้อย่างแม่นยำเพราะแนวทางของไรอันอยู่ไกลเท่าที่ขอบเขตเหล่านี้ดำเนินไป

— András Salamon

จะได้เก็บตัวอย่าง SAT คุณต้องการและอ่านมันคุณจำเป็นต้องเวลา สิ่งนี้ไม่ได้พิสูจน์ขอบเขตล่าง ST หรือไม่

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— T ....

@Turbo มันไม่ได้เป็นที่ชัดเจนว่าอัลกอริทึมในการตัดสินใจทุก SAT มีการจัดเก็บเช่น: พิสูจน์บิตพื้นที่กำหนดขอบเขตล่างจะแสดง{}

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$

— András Salamon