ผลกระทบของโปรแกรมของ Grothendieck ต่อ TCS

Grothendieck ได้ล่วงลับไปแล้ว เขามีผลกระทบอย่างมากในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 ต่อเนื่องในศตวรรษที่ 21 คำถามนี้เป็นคำถามที่ถามบ้างในสไตล์ / จิตวิญญาณเช่นของผลงานอลันทัวริงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

อะไรคืออิทธิพลสำคัญของGrothendieckเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี?

ความไม่เท่าเทียมกันของ Grothendieckจากสมัยของเขาในการวิเคราะห์การทำงานได้รับการพิสูจน์ในขั้นต้นเพื่อเชื่อมโยงบรรทัดฐานพื้นฐานในพื้นที่ผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ Grothendieck เรียกความไม่เสมอภาค "ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีเมตริกของพื้นที่ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์" และตีพิมพ์ในกระดาษที่มีชื่อเสียงในขณะนี้ในปี 1958 ในภาษาฝรั่งเศสในวารสารบราซิลฉบับ จำกัด กระดาษถูกละเว้นส่วนใหญ่เป็นเวลา 15 ปีจนกระทั่งมันถูกค้นพบโดย Lindenstrauss และ Pelczynski (หลังจาก Grothendieck ออกจากการวิเคราะห์การทำงาน) พวกเขาให้การปฏิรูปหลายครั้งของผลลัพธ์หลักของกระดาษซึ่งเกี่ยวข้องกับการวิจัยเกี่ยวกับการหาข้อสรุปและตัวประกอบบรรทัดฐานอย่างแน่นอนและสังเกตว่า Grothendieck ได้แก้ไขปัญหา "เปิด" ซึ่งได้รับการเลี้ยงดูหลังจากกระดาษถูกเผยแพร่ Pisier ให้รายละเอียดมากของความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรของมันและมีอิทธิพลอย่างมากของมันในการทำงานของเขาในการสำรวจ

ความไม่เท่าเทียมกันของ Grothendieck แสดงออกอย่างเป็นธรรมชาติมากในภาษาของการปรับให้เหมาะสมแบบ combinatorial และอัลกอริทึมการประมาณ มันบอกว่าปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบไม่มีส่วนนูน, ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด NP hard ใกล้เคียงกับค่าคงที่โดยประมาณ semidefinite ผ่อนคลาย \ max \ {\ sum_ {i, j} {a_ {ij} \ langle u_i, v_j \ rangle}: u_1, \ ldots, u_m, v_1, \ ldots, v_n \ ใน \ mathbb {S} ^ {n + m-1} \} โดย ที่\ mathbb {S} ^ {n + m-1}เป็นหน่วยทรงกลมใน\ mathbb {R} ^ {n + m}สูงสุด{ Σ ผม, เจฉันเจ ⟨ U ฉัน , วีเจ ⟩ : U 1 , ... , U m , v 1 , … , v n ∈

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมให้ "อัลกอริธึมการปัดเศษ" และในความเป็นจริงแล้วการหมุนไฮเปอร์เพลนแบบสุ่มของ Goemans-Williamson ก็ใช้งานได้ อย่างไรก็ตามความไม่เท่าเทียมของ Grothendieck นั้นน่าสนใจเพราะการวิเคราะห์อัลกอริธึมการปัดเศษจะต้องเป็น "โลก" คือดูทุกแง่มุมของฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ร่วมกัน

ต้องบอกว่ามันไม่น่าแปลกใจที่ความไม่เท่าเทียมกันของ Grothendiecks ได้ค้นพบชีวิตที่สอง (ที่สามสี่) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ Khot และ Naor ทำการสำรวจแอพพลิเคชั่นและการเชื่อมต่อของตนเพื่อการปรับแต่งแบบ combinatorial

เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น ความไม่เสมอภาคที่เกี่ยวข้องกับเบลล์ละเมิดความไม่เท่าเทียมกันในกลศาสตร์ควอนตั (ดูกระดาษ Pisier ของ) ได้ถูกนำมาใช้โดยLinial และ Shraibmanในการทำงานกับความซับซ้อนในการสื่อสารและหันแม้กระทั่งออกจากประโยชน์ในการทำงานเกี่ยวกับการวิเคราะห์ข้อมูลส่วนตัว (ไร้ยางอายปลั๊ก)

ผลกระทบของ Grothendieck สามารถรู้สึกได้ในทฤษฎีประเภทและตรรกะ ยกตัวอย่างเช่นปริมาณ 700 + หน้าบาร์ตจาคอบส์หมวดหมู่ลอจิกและทฤษฎีประเภทจะช่วยให้การรักษาเครื่องแบบทฤษฎีประเภทต่างๆ ( ประเภททฤษฎีที่X ⊆ { ง่าย, ขึ้น, polymorphic , ลำดับที่สูงกว่า} ) ตามความคิดเด็ดขาดของGrothendieck fibrations (หรือเรียกอีกอย่างว่า fibrations คาร์ทีเซียน) ในทำนองเดียวกันความคิดของToposก็เนื่องจาก Grothendieck มีบทบาทอย่างหนักในการให้ความหมายเชิงตรรกศาสตร์เพื่อตรรกศาสตร์และทฤษฎีประเภทซึ่งเป็นที่สนใจของนักตรรกวิทยาและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในทางทฤษฎีเหมือนกัน$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

$p$

ฉันเดาว่าวิสัยทัศน์ของ Mulmuley เกี่ยวกับการวางสมมติฐานทั่วไปของ Riemann เกี่ยวกับเขตข้อมูล จำกัด ที่มาจากการคาดเดาของ Weil นั้นสามารถคิดได้ว่าเป็นการถามคำถาม