เหตุใดวงจรของ HAMILTONIAN จึงแตกต่างจากถาวร

พหุนามคือการฉายภาพเดียวของพหุนามถ้า = polyและมีการกำหนด เช่นว่า(y_m)) นั่นคือมันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรแต่ละของโดยตัวแปรหรือคงที่หรือเพื่อให้ส่งผลให้สอดคล้องกับพหุนามฉ g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , … , x n ) = $f(x_1,\ldots,x_n)$$g(y_1,\ldots,y_m)$$m$$(n)$$\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$y j g x i 0 1 $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$$y_j$$g$$x_i$$0$$1$$f$

ฉันสนใจ (เหตุผล) ความแตกต่างระหว่าง PER พหุนามถาวรกับ HAM พหุนามวัฏจักร Hamiltonian: ที่บวกเป็นครั้งแรกที่มีมากกว่า ทุกพีชคณิตและที่สองเป็นเพียงมากกว่าทุกวงจรพีชคณิต[n]

$$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$$ $h:[n]\to[n]$$h:[n]\to[n]$

คำถาม:ทำไม HAM จึงไม่ใช่การฉายภาพโมโนโทนเดียว? หรือมันยังคงเป็น?

ฉันไม่ได้ขอหลักฐานเพียงเพื่อเหตุผลที่ใช้งานง่าย

แรงจูงใจ: วงจรที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักกันเสียงเดียวขอบเขตล่างสำหรับ PER (พิสูจน์โดย Razborov) ยังคง "เท่านั้น"n)} ในทางกลับกันผลของ องอาจแปลว่า โดยที่ กับการบวกที่มีมากกว่าทุกส่วนย่อยขนาด{n} ตัวฉันเองไม่สามารถรับการลดแบบ "เรียบง่าย" โดยตรงจากผลลัพธ์ทั่วไปเหล่านี้ แต่Alon และ Boppanaอ้างสิทธิ์ (ในหมวดที่ 5) ที่เพียงพอสำหรับการลด $n^{\Omega(\log n)}$ CLIQUE n ( x ) = ∑ S ∏ ฉัน< j ∈ S x i , j S ⊆ [ n ] | S | =

$$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$$ $$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$$ $S\subseteq [n]$$|S|=\sqrt{n}$$m=25n^2$

แต่เดี๋ยวก่อน: เป็นที่ทราบกันดีว่า CLIQUE ต้องการวงจรแบบโมโนโทนขนาด (พิสูจน์ครั้งแรกโดย Alon และ Boppana โดยใช้วิธีของ Razborov) $2^{n^{\Omega(1)}}$

ดังนั้นเมื่อ HAM เป็นการฉายภาพโมโนโทนเดียวของ PER เราจะมีขอบเขตล่างขอบเขตล่างสำหรับ PER $2^{n^{\Omega(1)}}$

ที่จริงแล้วทำไมแฮมจึงไม่แม้แต่ฉายภาพเดียวของ PER กว่า semiring บูลอดีตเป็นNPสมบูรณ์ในขณะที่หลังอยู่ในP แต่ทำไม สถานที่ที่มีวงจรสำหรับการเปลี่ยนแปลงทำให้มันพิเศษที่ไหน?

PSหนึ่งความแตกต่างที่ชัดเจนอาจเป็น: HAM ครอบคลุม [n] เพียงรอบเดียว (ยาว) ในขณะที่ PER สามารถใช้อาจทำให้วงรอบนี้ร่วมกันได้ ดังนั้นในการทำโครงการ PER กับแฮมทิศทางที่ยากลำบากน่าจะเป็น: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าการไม่มีวัฏจักรของแฮมิลตันหมายถึงการไม่มีการครอบคลุมใด ๆ กับวงจรที่แยกจากกันในกราฟใหม่ นี่เป็นเหตุผลสำหรับ HAM ที่ไม่ได้ฉายภาพของ PER หรือไม่?

PPSอันที่จริงองอาจพิสูจน์ผลลัพธ์ที่น่าประทับใจยิ่งขึ้น: พหุนามทุกตัวด้วย , ค่าสัมประสิทธิ์มี P-เวลาคำนวณเป็นฉาย (ไม่จำเป็นต้องเสียงเดียวถ้า algo ไม่เป็นเสียงเดียว) ของ HAMสำหรับ = โพลี(n)PER นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัตินี้ แต่กว่าด้านของลักษณะ2 ดังนั้นในแง่นี้ HAM และ PER จึงเป็น "ที่คล้ายกัน" เว้นแต่ว่าเราไม่ได้อยู่ใน GF (2) โดยที่ Bruno จำได้ว่า PER เปลี่ยนเป็น DETERMINANT และเป็นเรื่องง่ายc u ∈ { 0 , 1 } c u m m m ( n ) ≠ $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$$c_u\in\{0,1\}$$c_u$$_m$$m$$(n)$$\neq 2$

ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์เกี่ยวกับวงแหวนที่มีลักษณะเป็นศูนย์ใด ๆ ว่าพหุนามวัฏจักรแฮมิลตันไม่ได้เป็นการฉายภาพโมโนโทนขนาดเดียวของพหุนาม แนวคิดพื้นฐานคือการคาดคะเนแบบโมโนโทนของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ nonnegative นำไปสู่นิวตันโพลีเทปซึ่งเป็นสูตรหนึ่งของนิวตันโพลิปโตของอีกอันหนึ่งและจากนั้นนำขอบเขตที่ต่ำกว่ามาใช้

ให้และg ( y 1 , … , y m )เป็นพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นลบ (เช่นกรณีที่นี่) สมมติว่าfคือการฉายภาพโมโนโทนของgภายใต้การมอบหมาย (ตามสัญลักษณ์ของคำถาม) ภายใต้แต่ละ monomial ของถูกแมปเป็น 0 (ถ้าหนึ่งในตัวแปรนั้นถูกแมปเป็น 0) หรือ monomial ของ : ไม่สามารถยกเลิกได้เนื่องจากไม่มีการปฏิเสธ$f(x_1,\dotsc,x_n)$$g(y_1,\dotsc,y_m)$$f$$g$เธก$\pi$$\pi$$g$$f$

ลองแสดงว่า polytope นิวตัน , และในทำนองเดียวกันสำหรับ(g)f N e w ( g $New(f)$$f$$New(g)$

การอ้างสิทธิ์ : มีการกำหนดสูตรเพิ่มเติมสำหรับในโดยใช้ตัวแปร≤ n + mและข้อ จำกัด จำนวนหนึ่งที่มากที่สุดn + mบวกจำนวนข้อ จำกัด ที่กำหนดN e w ( กรัม )R$New(f)$$\mathbb{R}^m$$\leq n+m$$n+m$$New(g)$

นี่คือวิธี: Let เป็นพิกัดบนRเมตร (ซึ่งในN E W ( กรัม)มีชีวิตอยู่ ได้แก่ จุดจำนวนเต็มใน. Rเมตรมีพิกัด( E 1 , ... , อีเอ็ม )สอดคล้องกับ monomial y e 1 1 ⋯ y e m m ) สำหรับผู้ที่ฉันเช่นนั้นπ ( y i ) $e_1,\dotsc,e_m$$\mathbb{R}^m$$New(g)$$\mathbb{R}^m$$(e_1,\dotsc,e_m)$$y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$$i$ , ตัด N e w ( g )ด้วย { e i = 0 } (เนื่องจากมีเพียง monomials ที่ไม่เกี่ยวข้องกับ y ฉันสามารถมีส่วนร่วมในการฉายภาพ); นี้จะเพิ่มมากที่สุดเมตรข้อ จำกัด เพิ่มเติม ให้ Pแทนโพลิปท็อปที่เกิดขึ้น จากนั้น πเจือจางแผนที่เชิงเส้น L π : R m → R nเช่น L π ( P ) = N e w ( f $\pi(y_i)=0$$New(g)$$\{e_i = 0\}$$y_i$$m$$P$$\pi$$L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$$L_{\pi}(P) = New(f)$. ส่วนสุดท้ายนี้เกิดจากการขาดการยกเลิก ดังนั้นเราจึงได้กำหนดสูตรเพิ่มเติมสำหรับโดยรับตัวแปรn + m , ข้อ จำกัด สำหรับPบนตัวแปรmและข้อ จำกัด ที่กำหนดL π (ซึ่งมีอยู่ที่nมากที่สุด, หนึ่งสำหรับแต่ละx i ) . การอ้างสิทธิ์ QED$New(f)$$n+m$$P$$m$$L_{\pi}$$n$$x_i$

ตอนนี้ใช้เวลาจะเป็นn -th รอบแฮมิลตันพหุนามและกรัมจะเป็นม. -th ถาวรและสมมติว่าฉคือการฉายเดียวของกรัม polytope ของนิวตันของถาวร (และดีเทอร์มิแนนต์, โดยบังเอิญ) คือโพลิปปดวงจร โพลีท็อปนี้สามารถอธิบายได้ง่ายโดยตัวแปร "edge" e i jและสมการmระบุว่าทุกจุดยอดมีระดับเท่ากับ 2$f$$n$$g$$m$$f$$g$$e_{ij}$$m$

polytope ของนิวตันของแฮม Cycle polynomial เป็น polytope cycle ของ Hamiltonian (ประหลาดใจประหลาดใจ) แต่ polytope นี้เป็น polytope TSP ซึ่งต้องใช้สมการที่จะอธิบายสูตรขยายใด ๆ$2^{n^{\Omega(1)}}$ซึ่งเมื่อเป็น subexponential ตรงกันข้ามการกำหนดขยายขนาดเล็กที่ได้รับจาก polytope วงจรครอบคลุมและL πดังกล่าวข้างต้น$m$$L_{\pi}$

(หมายเหตุว่าอาร์กิวเมนต์นี้ล้มเหลวถ้า , Gหรือπสามารถมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบเป็นแล้วอาจมีการยกเลิกการจองเพื่อL πไม่จำเป็นต้องเข้าสู่แผนที่N E W ( ฉ) .)$f$$g$$\pi$$L_{\pi}$$New(f)$

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าเรขาคณิตของ polytopes เหล่านี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความจริงที่ว่าการจับคู่เป็นในขณะที่รอบแฮมิลตันคือN P-สมบูรณ์ แต่ฉันคิดว่าเหตุผลข้างต้นแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างทางเรขาคณิตที่นี่ .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$