ข้อได้เปรียบของอัลกอริทึมของความกว้างของเส้นทางมากกว่าความกังวล

Treewidth มีบทบาทสำคัญในอัลกอริธึมของ FPT ส่วนหนึ่งเป็นเพราะปัญหาหลายอย่างถูกกำหนดโดย FPT โดย treewidth ความคิดที่เกี่ยวข้องและถูก จำกัด มากขึ้นคือความคิดของความกว้างของพา ธ หากกราฟมีความกว้างของเส้นทางมันก็จะมีค่าสูงสุดที่ในขณะที่ในทิศทางที่ตรงกันข้ามส่วน treewidth หมายถึงความกว้างของเส้นทางที่ส่วนใหญ่เท่านั้น $k$ $k$ $k$ $k\log n$

จากที่กล่าวมาข้างต้นเราอาจคาดหวังว่าอาจมีความได้เปรียบเชิงอัลกอริทึมอย่างมีนัยสำคัญต่อกราฟของความกว้างของเส้นทางที่ จำกัด อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าปัญหาส่วนใหญ่ซึ่งเป็น FPT สำหรับพารามิเตอร์หนึ่งคือ FPT สำหรับอีกอันหนึ่ง ฉันอยากรู้ว่ามีตัวอย่างตอบโต้ใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้นั่นคือปัญหาที่ "ง่าย" สำหรับความกว้างของเส้นทาง แต่ "ยาก" สำหรับความกังวลใจ

ให้ฉันพูดถึงว่าฉันมีแรงบันดาลใจที่จะถามคำถามนี้โดยใช้กระดาษล่าสุดโดย Igor Razgon ("ใน OBDDs สำหรับ CNFs ของการกระโดดข้ามขอบเขตที่ จำกัด ", KR'14) ซึ่งเป็นตัวอย่างของปัญหาด้วยโซลูชันเมื่อคือความกว้างและ a (ประมาณ) ลดลงเมื่อเป็น treewidth ฉันสงสัยว่ามีตัวอย่างอื่นที่มีพฤติกรรมนี้หรือไม่ $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

สรุป:มีตัวอย่างของปัญหาธรรมชาติที่ W-hard parameterized โดย treewidth แต่ FPT แปรปรวนโดย pathwidth หรือไม่? ในวงกว้างมีตัวอย่างของปัญหาที่ความซับซ้อนเป็นที่รู้จัก / เชื่อว่าดีขึ้นมากเมื่อกำหนดพารามิเตอร์โดยความกว้างของเส้นทางแทนที่จะเป็นความน่าเชื่อถือ

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Michael Lampis
แหล่งที่มา

มีปัญหาที่ง่ายบนทาง แต่ NP-Hard บนต้นไม้ เหล่านี้รวมถึงมัลติมิเตอร์ขั้นต่ำและจำนวนเต็มสูงสุดจำนวนต่ำ

— จันทรา Chekuri

@ChandraChekuri นี่เป็นจุดที่ดี แต่อัลกอริทึมสำหรับเส้นทางสำหรับปัญหาดังกล่าวมักจะพูดถึงความกว้างของเส้นทางหรือไม่ ตัวอย่างเช่นสำหรับ multiflow จำนวนเต็มสูงสุดฉันคิดว่านี่ไม่ใช่กรณี Garg, Vazirani และ Yannakakis ได้พิสูจน์ความแข็งของ NP สำหรับต้นไม้ใน "อัลกอริธึม Primal-dual สำหรับการไหลแบบอินทิกรัล การลดลงนั้นใช้ต้นไม้ที่มีความสูง 3 ซึ่งหมายความว่าปัญหาคือ NP-hard สำหรับพา ธ คงที่

— Michael Lampis

นี่ไม่ใช่คำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามเดิม ช่องว่าง flow-cut ใน pathwidth k กราฟเป็นที่รู้กันว่าถูกล้อมรอบด้วย f (k) สำหรับบางฟังก์ชัน f ผ่านผลลัพธ์ของ Lee และ Sidiropoulos มันเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญไม่ว่าจะเป็นผลลัพธ์ที่จะนำไปสู่ความกังวล เคส k = 3 เปิดให้บริการสำหรับความกังวล

— Chandra Chekuri

อัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับวัฏจักร Hamiltonian ที่กำหนดพารามิเตอร์ตามความกว้างของเส้นทางมีรันไทม์

(arxiv.org/abs/1211.1506) ในขณะที่ treewidth ที่ดีที่สุดคือ

(arxiv.org/abs/1103.0534) นี่อาจเป็นเพียงช่องว่างที่รอการปิดอยู่

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— daniello

มันแสดงให้เห็นว่า [1] ปัญหาบุรุษไปรษณีย์จีนผสม (MCPP) แปรสภาพโดยความกว้างของพา ธ คือยากแม้ว่าขอบและส่วนโค้งทั้งหมดของกราฟอินพุตมีน้ำหนักและเป็น FPT เทียบกับความลึก ปัญหานี้เป็นปัญหาแรกที่ทราบว่าแสดงให้เห็นว่าเป็นยากต่อการกังวล แต่ FPT ที่เกี่ยวข้องกับ treedepth โปรดทราบว่าความกว้างของกราฟอยู่ระหว่าง treewidth กับ treedepth $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

ปัญหาทิ Multicut ที่ถามให้ undirected กราฟ , คอลเลกชัน $G$ , , ชุดขั้วขนาดที่มากที่สุดและจำนวนเต็มไม่ว่าจะมีเป็นชุดของที่มากที่สุดขอบหรือโหนดดังกล่าวว่าของแต่ละชุดที่หนึ่งอย่างน้อย คู่ของขั้วอยู่ในส่วนประกอบที่เกี่ยวโยงกันที่แตกต่างกันของ S $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

Node Steiner Multicut, Edge Steiner Multicut, และ Restr Node Steiner Multicut คือยากสำหรับพารามิเตอร์แม้ว่าและ [2] $W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Rupei Xu
แหล่งที่มา