คุณสมบัติชัดเจนใน 2-CNF หรือ 2-SAT

วิธีการหนึ่งแสดงให้เห็นว่าทรัพย์สินบางอย่างไม่สามารถแสดงใน 2-CNF (2-SAT) ได้อย่างไร มีเกมใด ๆ เช่นเกมพลอยหรือไม่ ดูเหมือนว่าเกมก้อนกรวดสีดำคลาสสิกและเกมพลอยสีขาวดำนั้นไม่เหมาะสำหรับเกมนี้ (เป็นเกม PSPACE ที่สมบูรณ์ตาม Hertel และ Pitassi, SIAM J of Computing, 2010)

หรือเทคนิคอื่นใดนอกจากเกม?

แก้ไข : ฉันกำลังคิดถึงคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการนับ (หรือความสำคัญเชิงหัวใจ) ของเพรดิเคตที่ไม่รู้จัก (เพรดิเคตSO ดังนั้นตามที่นักทฤษฎีโมเดล จำกัด จะบอก) ตัวอย่างเช่นใน Clique หรือการจับคู่ที่ไม่ได้ถ่วง (a) Clique : มีกลุ่มในกราฟที่กำหนดเช่นบางส่วนจำนวนที่กำหนด ? (b) การจับคู่ : มีการจับคู่ในเช่นนั้น ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SAT สามารถนับได้หรือไม่ มันมีกลไกการนับหรือไม่? ดูเหมือนจะสงสัย

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Sameer Gupta
แหล่งที่มา

ฉันเข้าใจว่ามีเกม Ehrenfeucht – Fraïssé (สำหรับ FO) และเกม Ajtai-Fagin (สำหรับ monadic SO) ในทฤษฎีโมเดล จำกัด แต่ไม่แน่ใจว่าเพียงพอหรือไม่ เกมใน FMT มีความซับซ้อนกับโครงสร้างที่สั่งใช่ไหม?

— Sameer Gupta

@Marzio ดูเหมือนว่ามีหลักฐานบางอย่างที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่นบูลีนบางอย่างที่สามารถแสดงออกได้ใน 2CNF เนื่องจากคุณระบุว่าจะตอบคำถาม (ไม่แน่ใจว่าจริง ๆ แล้วอย่าเห็นว่าชัดเจน) หลักฐานนั้นคืออะไร? มันเผยแพร่ที่ไหนสักแห่ง?

— vzn

@vzn: ฟังก์ชั่นบูลีนที่ไม่สามารถแสดงออกได้ใน 2-CNF คือ:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: หลังจากการปรับรูปแบบใหม่คำถามจะกลายเป็นเรื่องยาก :-); แน่นอน

ที่

จะถูก จำกัด เป็นไปตามเงื่อนไขที่มีสองตัวแปร (SO-กรม) จับ NL สั่งซื้อมากกว่าโครงสร้างในขณะที่จับอัตถิภาวนิยม SO NP เห็นได้ชัดว่ามีข้อ จำกัด สำหรับ FO 2-SAT ไม่สามารถนับได้ (และเกม Ehrenfeucht – Fraïsséหรือเทคนิคการบีบอัดอยู่ไกลพอเพราะคุณสามารถใช้พวกเขาเพื่อพิสูจน์ว่า PARITY นั้นไม่ชัดเจน)

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

ตกลง. ดูเหมือนว่าจะมีบางทฤษฎีทั่วไปที่

-SAT ไม่สามารถแสดงฟังก์ชั่นบูลทั้งหมดคงที่k

ทฤษฎีนั้นคืออะไร คำถามนี้ถามเกี่ยวกับกรณีพิเศษ

หมายเหตุมีแนวคิดของการ "ลด"

-SAT 3-SAT ผ่านTseitin เปลี่ยน ยังได้เห็นแนวคิดที่คล้ายกันปรากฏขึ้นในวงจรโมโนโทนพิสูจน์ลดขอบเขต (Razborov)

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

คำตอบ:

ตระกูลของ bitvectors คือคลาสของการแก้ปัญหา 2-SAT หากว่ามันมีค่ามัธยฐาน: ถ้าคุณใช้ฟังก์ชันส่วนใหญ่ค่าบิตกับโซลูชันสามตัวที่คุณได้รับอีกวิธี ดูเช่นhttps://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiabilityและการอ้างอิง ดังนั้นหากคุณสามารถหาคำตอบสามตัวที่ไม่เป็นความจริงคุณก็รู้ว่ามันไม่สามารถแสดงใน 2-CNF

— David Eppstein
แหล่งที่มา

เดวิดขอบคุณจะค้นหาสิ่งนี้ @vzn - คำตอบของเดวิดเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณแสดงความคิดเห็นเมื่อ 2 วันก่อนที่เว็บไซต์แชทมีสูตร 3SAT สำหรับบิตเวกเตอร์ทุกชุดและมองหาผลลัพธ์สำหรับ 2SAT สูตรที่เกี่ยวข้องกับชุดบิตเวกเตอร์หรือไม่?

— Sameer Gupta

David, Yuval - แน่นอนว่าหลักฐานของคุณจะใช้ได้ถ้าใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน แต่ถ้าชุดของตัวแปรที่ใช้สามารถแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง? ดูคำตอบของ Martin Seymour ได้ที่นี่: cstheory.stackexchange.com/questions/200/ … - เพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีการลดความพึงพอใจที่เท่าเทียมกัน (ควร logspace) จาก K-Clique หรือ K-Matching ถึง 2SAT จะต้องใช้หลักฐานที่แตกต่างกัน . คิด?

— Sameer Gupta

การเพิ่มตัวแปรเสริมจากนั้นการฉายออกจะไม่ช่วยได้เพราะถ้าค่ามัธยฐานเป็นจริงสำหรับระบบการเติมตัวแปรแล้วมันก็ยังคงเป็นจริงในการฉายภาพ

— David Eppstein

อีกวิธีที่จะบอกว่ามันคือค่ามัธยฐาน (หรือส่วนใหญ่) คือความหลากหลายสำหรับข้อ จำกัด 2SAT ในความเป็นจริงเป็นที่รู้จักกันว่าCSP ใด ๆ (แม้ไม่ใช่บูลีน) ที่มีส่วนใหญ่เป็นพหุสัณฐานอยู่ใน

(Dalmau-Krokhin '08)

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

ให้เป็นสมบัติของตัวแปรสมมติว่ามีสูตร 2CNF เช่นว่า $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ เราอ้างว่าเทียบเท่ากับสูตร 2CNFที่เกี่ยวข้องเท่านั้น nเพื่อพิสูจน์ว่านี้มันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นวิธีการกำจัดเมตรเขียน

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

ที่

เป็นตัวอักษรและ

ไม่เกี่ยวข้องกับ

เมตร

สูตร

เทียบเท่ากับ

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

นี้พิสูจน์ให้เห็นการเรียกร้องเมื่อ

ไม่ปรากฏในประโยคหน่วย; หากทำได้เราสามารถกำจัดได้โดยตรง

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(ใช่ฉันรู้ว่าการเพิ่มการคูณและการนับฟังก์ชั่นการคำนวณ แต่มันง่ายที่จะแปลงให้เป็นเวอร์ชั่นการตัดสินใจของปัญหาที่เกี่ยวข้อง)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) สำหรับการนับแม้ว่าคุณอาจไม่สามารถรับนิพจน์ที่เทียบเท่าใน 2-CNF โดยใช้วิธีการที่ระบุไว้ใน (b) คุณสามารถรับนิพจน์ 2-CNF ที่ไม่น่าพอใจ

ใช่ 2-SAT สามารถนับได้

$NL$ $|M|$ $NL$

— มาร์ตินเซมัวร์
แหล่งที่มา

อีกครั้ง, ถ้าคุณเชื่อว่าคำตอบของฉันแล้วนิพจน์ 2-CNF ที่ไม่น่าพอใจสามารถถูกแปลงเป็นนิพจน์ 2-CNF ที่เท่าเทียมกันโดยสุจริต

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

คุณสามารถอ่านคำตอบของฉันและดูด้วยตัวคุณเอง โปรดทราบว่าในกรณีนี้ไม่มีขอบเขต / เวลา

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$