คุณสมบัติชัดเจนใน 2-CNF หรือ 2-SAT


12

วิธีการหนึ่งแสดงให้เห็นว่าทรัพย์สินบางอย่างไม่สามารถแสดงใน 2-CNF (2-SAT) ได้อย่างไร มีเกมใด ๆ เช่นเกมพลอยหรือไม่ ดูเหมือนว่าเกมก้อนกรวดสีดำคลาสสิกและเกมพลอยสีขาวดำนั้นไม่เหมาะสำหรับเกมนี้ (เป็นเกม PSPACE ที่สมบูรณ์ตาม Hertel และ Pitassi, SIAM J of Computing, 2010)

หรือเทคนิคอื่นใดนอกจากเกม?

แก้ไข : ฉันกำลังคิดถึงคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการนับ (หรือความสำคัญเชิงหัวใจ) ของเพรดิเคตที่ไม่รู้จัก (เพรดิเคตSO ดังนั้นตามที่นักทฤษฎีโมเดล จำกัด จะบอก) ตัวอย่างเช่นใน Clique หรือการจับคู่ที่ไม่ได้ถ่วง (a) Clique : มีกลุ่มในกราฟที่กำหนดเช่นG | C | บางส่วนจำนวนที่กำหนดK ? (b) การจับคู่ : มีการจับคู่MในGเช่นนั้น| M | K ?CG|C|K MG|M|K

2-SAT สามารถนับได้หรือไม่ มันมีกลไกการนับหรือไม่? ดูเหมือนจะสงสัย


ฉันเข้าใจว่ามีเกม Ehrenfeucht – Fraïssé (สำหรับ FO) และเกม Ajtai-Fagin (สำหรับ monadic SO) ในทฤษฎีโมเดล จำกัด แต่ไม่แน่ใจว่าเพียงพอหรือไม่ เกมใน FMT มีความซับซ้อนกับโครงสร้างที่สั่งใช่ไหม?
Sameer Gupta

@Marzio ดูเหมือนว่ามีหลักฐานบางอย่างที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่นบูลีนบางอย่างที่สามารถแสดงออกได้ใน 2CNF เนื่องจากคุณระบุว่าจะตอบคำถาม (ไม่แน่ใจว่าจริง ๆ แล้วอย่าเห็นว่าชัดเจน) หลักฐานนั้นคืออะไร? มันเผยแพร่ที่ไหนสักแห่ง?
vzn

5
@vzn: ฟังก์ชั่นบูลีนที่ไม่สามารถแสดงออกได้ใน 2-CNF คือ: (x1x2x3)
Marzio De Biasi

2
@SameerGupta: หลังจากการปรับรูปแบบใหม่คำถามจะกลายเป็นเรื่องยาก :-); แน่นอนที่φจะถูก จำกัด เป็นไปตามเงื่อนไขที่มีสองตัวแปร (SO-กรม) จับ NL สั่งซื้อมากกว่าโครงสร้างในขณะที่จับอัตถิภาวนิยม SO NP เห็นได้ชัดว่ามีข้อ จำกัด สำหรับ FO 2-SAT ไม่สามารถนับได้ (และเกม Ehrenfeucht – Fraïsséหรือเทคนิคการบีบอัดอยู่ไกลพอเพราะคุณสามารถใช้พวกเขาเพื่อพิสูจน์ว่า PARITY นั้นไม่ชัดเจน) P1...Pnz¯φ(P1,...,Pn,z¯)φ
Marzio De Biasi

1
ตกลง. ดูเหมือนว่าจะมีบางทฤษฎีทั่วไปที่ -SAT ไม่สามารถแสดงฟังก์ชั่นบูลทั้งหมดคงที่k ทฤษฎีนั้นคืออะไร คำถามนี้ถามเกี่ยวกับกรณีพิเศษk = 2 หมายเหตุมีแนวคิดของการ "ลด" n -SAT 3-SAT ผ่านTseitin เปลี่ยน ยังได้เห็นแนวคิดที่คล้ายกันปรากฏขึ้นในวงจรโมโนโทนพิสูจน์ลดขอบเขต (Razborov) kkk=2n
vzn

คำตอบ:


19

ตระกูลของ bitvectors คือคลาสของการแก้ปัญหา 2-SAT หากว่ามันมีค่ามัธยฐาน: ถ้าคุณใช้ฟังก์ชันส่วนใหญ่ค่าบิตกับโซลูชันสามตัวที่คุณได้รับอีกวิธี ดูเช่นhttps://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiabilityและการอ้างอิง ดังนั้นหากคุณสามารถหาคำตอบสามตัวที่ไม่เป็นความจริงคุณก็รู้ว่ามันไม่สามารถแสดงใน 2-CNF


เดวิดขอบคุณจะค้นหาสิ่งนี้ @vzn - คำตอบของเดวิดเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณแสดงความคิดเห็นเมื่อ 2 วันก่อนที่เว็บไซต์แชทมีสูตร 3SAT สำหรับบิตเวกเตอร์ทุกชุดและมองหาผลลัพธ์สำหรับ 2SAT สูตรที่เกี่ยวข้องกับชุดบิตเวกเตอร์หรือไม่?
Sameer Gupta

David, Yuval - แน่นอนว่าหลักฐานของคุณจะใช้ได้ถ้าใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน แต่ถ้าชุดของตัวแปรที่ใช้สามารถแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง? ดูคำตอบของ Martin Seymour ได้ที่นี่: cstheory.stackexchange.com/questions/200/ … - เพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีการลดความพึงพอใจที่เท่าเทียมกัน (ควร logspace) จาก K-Clique หรือ K-Matching ถึง 2SAT จะต้องใช้หลักฐานที่แตกต่างกัน . คิด?
Sameer Gupta

1
การเพิ่มตัวแปรเสริมจากนั้นการฉายออกจะไม่ช่วยได้เพราะถ้าค่ามัธยฐานเป็นจริงสำหรับระบบการเติมตัวแปรแล้วมันก็ยังคงเป็นจริงในการฉายภาพ
David Eppstein

4
อีกวิธีที่จะบอกว่ามันคือค่ามัธยฐาน (หรือส่วนใหญ่) คือความหลากหลายสำหรับข้อ จำกัด 2SAT ในความเป็นจริงเป็นที่รู้จักกันว่าCSP ใด ๆ (แม้ไม่ใช่บูลีน) ที่มีส่วนใหญ่เป็นพหุสัณฐานอยู่ใน (Dalmau-Krokhin '08) NLP
arnab

10

ให้เป็นสมบัติของตัวแปรn สมมติว่ามีสูตร 2CNF φ ( x 1 , ... , x n , y ที่1 , ... , Y ม. )เช่นว่า P ( x 1 , ... , x n ) ปี1Y φ ( x 1P(x1,,xn)nφ(x1,,xn,y1,,ym) เราอ้างว่า φเทียบเท่ากับสูตร 2CNF ψที่เกี่ยวข้องเท่านั้น x 1 , ... , x n เพื่อพิสูจน์ว่านี้มันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นวิธีการกำจัด Yเมตร เขียน φ = ไคs k = 1 ( Y เมตรU k ) เสื้อ=

P(x1,,xn)y1ymφ(x1,,xn,y1,,ym).
φψx1,,xnym ที่Uk,Vเป็นตัวอักษรและχไม่เกี่ยวข้องกับYเมตร สูตรφเทียบเท่ากับ ไค( ¯ Y เมตร s k = 1 Uk)(Yเมตรเสื้อ= 1 V)
φ=χk=1s(ymUk)=1t(ym¯V),
Uk,Vχymφ นี้พิสูจน์ให้เห็นการเรียกร้องเมื่อปีเมตรไม่ปรากฏในประโยคหน่วย; หากทำได้เราสามารถกำจัดได้โดยตรง
χ(ym¯k=1sUk)(ym=1tV)χ(k=1sUk=1tV)χk=1s=1t(UkV)
ym

P(x1,,xn)ψ(x1,,xn)PPKKn


yiψx1x2xnϕ1ϕ2ϕ2

1
yiyi

5

L L

(ใช่ฉันรู้ว่าการเพิ่มการคูณและการนับฟังก์ชั่นการคำนวณ แต่มันง่ายที่จะแปลงให้เป็นเวอร์ชั่นการตัดสินใจของปัญหาที่เกี่ยวข้อง)

LNLNLAC0AC0

(c) สำหรับการนับแม้ว่าคุณอาจไม่สามารถรับนิพจน์ที่เทียบเท่าใน 2-CNF โดยใช้วิธีการที่ระบุไว้ใน (b) คุณสามารถรับนิพจน์ 2-CNF ที่ไม่น่าพอใจ

ใช่ 2-SAT สามารถนับได้

NL|M|NL


1
อีกครั้ง, ถ้าคุณเชื่อว่าคำตอบของฉันแล้วนิพจน์ 2-CNF ที่ไม่น่าพอใจสามารถถูกแปลงเป็นนิพจน์ 2-CNF ที่เท่าเทียมกันโดยสุจริต
Yuval Filmus

  

คุณสามารถอ่านคำตอบของฉันและดูด้วยตัวคุณเอง โปรดทราบว่าในกรณีนี้ไม่มีขอบเขต / เวลา
Yuval Filmus

1
LAC0fxLf(x)

ϕxiϕxi 
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.