ผลรวมชุดที่น้อยที่สุด

ลองพิจารณาปัญหานี้: รับรายการชุด จำกัด หาคำสั่ง$s_1, s_2, s_3, \ldots$ที่ย่อให้น้อยที่สุด$|s_1| + |s_1 \cup s_2| + |s_1 \cup s_2 \cup s_3| + \ldots$ .

มีอัลกอริทึมที่รู้จักสำหรับสิ่งนี้หรือไม่? ความซับซ้อนของมันคืออะไร? ฉันยังไม่สามารถนึกถึงอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดที่มีประสิทธิภาพ แต่ก็ไม่ชัดเจนใน NP-Hard เช่นกัน

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการกำหนดเวลาจริง ๆ แล้วรู้ว่าเป็น "การตั้งเวลา จำกัด แบบลำดับความสำคัญก่อนหน้า ปัญหามีดังนี้: กำหนดชุดของงานที่แต่ละงานมีเวลาประมวลผล (p) และน้ำหนัก (w) และกราฟลำดับความสำคัญถูกกำหนดไว้ในงาน เป้าหมายคือการกำหนดตารางเวลางานในเครื่องเดียว (ไม่ใช่การยึดเอาเสียก่อน) เพื่อให้ข้อ จำกัด ที่มีมาก่อนนั้นเป็นแบบ Statisfied และผลรวมของเวลาที่เสร็จสิ้นการถ่วงน้ำหนักจะลดลง ปัญหาคือ NP-hard และทราบการประมาณ 2 ครั้ง

การลดจากปัญหาผลรวมสะสมขั้นต่ำไปสู่ปัญหาการจัดตารางเวลาข้อ จำกัด ที่มาก่อน: สำหรับแต่ละองค์ประกอบสร้างงานที่มี p = 1, w = 0 สำหรับแต่ละชุดจะสร้างงานด้วย p = 0, w = 1 สร้างกราฟที่มีความสำคัญเช่น ถ้าองค์ประกอบแล้วอีจะต้องมีการกำหนดไว้ก่อนS ฉันคิดว่ากรณีพิเศษของปัญหาการตั้งเวลาเป็นปัญหายากเช่นกัน$e \in S$$e$$S$

ดูลิงค์ต่อไปนี้

1) http://www.win.tue.nl/~gwoegi/papers/precsum.pdf

2) http://web.engr.illinois.edu/~chekuri/papers/dam_sched.ps

Shalmoli Gupta ได้อธิบายแล้วว่าปัญหาทั่วไปคือ NP-Hard ดังนั้นฉันตัดสินใจที่จะตรวจสอบว่ามีกรณีพิเศษใด ๆ ที่สามารถแก้ไขได้พหุนาม ในที่สุดฉันก็พบวิธีแก้ปัญหากรณีพิเศษของชุดที่แสดงถึงต้นไม้หรือโดยทั่วไปแล้วลำดับที่ขนานกันโดยการรวมชุดย่อยกับเซตที่หาที่เปรียบมิได้ทั้งหมด

คุณสมบัติหนึ่งที่ทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นคือถ้ารายการชุดถูกปิดภายใต้จุดตัด ถ้าแล้วจะมีการสั่งซื้อที่เหมาะสมที่สุดในการที่ s 1มาก่อน s 2 เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า WLOG การสั่งซื้อที่ดีที่สุดคือการขยายเชิงเส้นของคำสั่งบางส่วนที่ได้รับจากการรวมส่วนย่อย$s_1 \subseteq s_2$$s_1$$s_2$

เนื่องจากชุดย่อยทั้งหมดของชุดปรากฏก่อนหน้าตามลำดับซึ่งหมายความว่าจำนวนที่เพิ่มไปยังผลรวมการทำงานโดยชุดที่กำหนดได้รับการแก้ไขโดยไม่คำนึงถึงว่าจะปรากฏที่ใด ถ้าคือรายการของชุดแล้วค่าใช้จ่ายที่เพิ่มขึ้นของชุดเป็นจำนวนขององค์ประกอบในของที่ไม่ได้อยู่ในส่วนย่อย ๆ ของ s ที่ปรากฏในS หากชุดเดียวกันปรากฏหลายครั้งในSเราสามารถเลือกหนึ่งชุดก่อนและปล่อยให้ชุดอื่นมีค่าใช้จ่าย 0$S$$S$$S$

ซึ่งหมายความว่าปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาเวลาเสร็จสิ้นขั้นต่ำถ่วงน้ำหนักในการตั้งเวลาเครื่องเดี่ยวที่มีข้อ จำกัด ที่สำคัญกว่า ในปัญหานี้เนื่องจากชุดของงานที่มีน้ำหนักและคูณt jและคำสั่งบางส่วนของงานPเราต้องการค้นหาการเรียงลำดับของงานที่ลดเวลาเสร็จสิ้นทั้งหมดที่ถ่วงน้ำหนักเช่น$w_j$$t_j$$P$

$\sum_{i=1}^{n} w_{j_i} \left(\sum_{k=1}^{i} t_{j_k}\right)$

ภายใต้ข้อ จำกัด ที่มีความสำคัญPปัญหาชุดสะสมขั้นต่ำที่มีชุดปิดทางแยกสามารถเปลี่ยนเป็นสิ่งนี้ได้โดยการสร้างงานสำหรับแต่ละชุดโดยที่งานทุกงานมีน้ำหนัก 1 เวลาเท่ากับค่าใช้จ่ายส่วนเพิ่มที่กำหนดไว้ข้างต้นและPคือคำสั่งที่กำหนดโดยการรวมชุดย่อย$P$$P$

ตามที่ปรากฎปัญหานี้คือ NP-Hard สำหรับทั่วไปเช่นกัน อย่างไรก็ตามPแบบพิเศษบางอย่างสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม$P$$P$

กระดาษนี้ให้อัลกอริทึม ( n l o g n )สำหรับกรณีของชุดคำสั่งแบบขนาน P (ซึ่งรวมถึงกรณีที่สำคัญของต้นไม้เช่นกัน) น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถเข้าถึงกระดาษแผ่นนั้นได้ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจลองนำมันกลับมาใช้ใหม่ นี่คือสิ่งที่ฉันมาด้วย$O(nlogn)$$P$

เพื่อแก้ไขปัญหานี้จำเป็นต้องมีการสังเกตหลายประการ

ก่อนอื่นหากไม่มีข้อ จำกัด ใด ๆ มาก่อนทางออกที่ดีที่สุดคือการเรียงลำดับงานเพื่อเพิ่ม . สำหรับความเรียบง่ายผมจะหมายถึงนี้เป็นมูลค่าของงานที่ยากโวลต์(J) โปรดทราบว่าเนื่องจากการเรียงลำดับคือ$\frac{t_j}{w_j}$$v(j)$จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำได้ดีกว่าความซับซ้อนนี้$O(nlogn)$

กฎข้อที่ 1ให้และขเป็นงานดังกล่าวว่า< ข∈ Pและขครอบคลุม ถ้าv ( a ) < v ($a$$b$$a < b \in P$ดังนั้นเราสามารถปล่อยข้อ จำกัด a < bโดยไม่กระทบต่อการสั่งซื้อหรือมูลค่าวัตถุประสงค์ที่เหมาะสม$v(a) < v(b)$$a < b$

สมมติว่าปรากฏขึ้นก่อนaในลำดับที่ดีที่สุดของปัญหาที่ผ่อนคลาย ตั้งแต่ b ครอบคลุมในตอนแรกนั่นหมายความว่างานทั้งหมดระหว่าง b และ a ในการสั่งซื้อใหม่นั้นหาที่เปรียบมิได้กับ a และ b แต่เนื่องจาก b มีค่าสูงกว่า a เราจึงสามารถลดค่าวัตถุประสงค์โดยการสลับ b และ a ซึ่งเป็นความขัดแย้ง$b$$a$

ในทำนองเดียวกันเราสามารถวางข้อ จำกัด ในกรณีที่ตราบใดที่เรามั่นใจว่าหลังจากเรียงลำดับตามค่าเราจะทำลายความสัมพันธ์โดยปรึกษาความสัมพันธ์ที่มีมาก่อนของปัญหาดั้งเดิม (ลดความซับซ้อน) สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าทางออกที่ดีที่สุดที่พบสำหรับปัญหาที่ผ่อนคลายเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาดั้งเดิม$v(a) = v(b)$

ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่ b ครอบคลุม a และเราสามารถลดความซับซ้อนของปัญหาโดยการวางข้อ จำกัด <ข$v(a) \leq v(b)$$a < b$

กฎข้อ 2สมมติว่าเรารู้ว่า b ปฏิบัติตามทันทีหลังจาก a ในคำตอบที่ดีที่สุด เราสามารถรวม a และ b เข้ากับโหนด c ใหม่ด้วยและt c = t a + t bในขณะที่เกร็ง poset Pอย่างเหมาะสม$w_c = w_a + w_b$$t_c = t_a + t_b$$P$

ค่าวัตถุประสงค์ที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาใหม่นั้นแตกต่างกันโดยค่าคงที่จากค่าวัตถุประสงค์ดั้งเดิม (โดยเฉพาะ$w_at_b$ ) อย่างไรก็ตามค่าคงที่นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการสั่งซื้อและดังนั้นการสั่งซื้อที่ดีที่สุดจะไม่ได้รับผลกระทบ เราสามารถกู้คืนทางออกที่ดีที่สุดให้กับปัญหาเก่าโดยการใช้วิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดให้กับปัญหาที่เกิดขึ้นใหม่และการเปลี่ยนกับข$c$$ab$

กฎข้อที่ 3สมมติว่าในการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับอินสแตนซ์ปัญหามาก่อนbและv ( a ) > v ( b $a$$b$$v(a) > v(b)$ )ตอนนี้สมมติว่าเราสร้างอินสแตนซ์ปัญหาที่มีขนาดใหญ่ขึ้นโดยการเพิ่มงานใหม่ด้วยโพสต์ใหม่ที่เกิดขึ้นจากซีรีส์หรือองค์ประกอบแบบขนานกับต้นฉบับ ก็คือจะมีทางออกที่ดีที่สุดที่จะเป็นปัญหาขนาดใหญ่ที่มาทันทีก่อนที่จะข$a$$b$

สมมติว่าเป็นอย่างอื่น ทางออกที่ดีที่สุดให้มี, x 1 , x 2 , ... ,ข ตั้งแต่Pที่ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบชุดขนานเรารู้ว่าทุกx ฉัน s หาที่เปรียบมิได้ที่จะและข ผสานทุกx ฉันโหนดเป็นโหนดใหม่x 'โดยใช้กฎ 2. ตอนนี้พิจารณาวี( x ' ) ถ้าv ( x ′ ) ≤ v ( a )เราสามารถสลับได้$a, x_1, x_2, \ldots, b$$P$$x_i$$a$$b$$x_i$$x'$$v(x')$$v(x') \leq v(a)$และ aโดยไม่เพิ่มค่าวัตถุประสงค์ ในทำนองเดียวกันถ้าโวลต์( x ' ) ≥ วี( ข)เราสามารถสลับ x 'และข ดังนั้นวี( ) < V ( x ' ) < วี( ข ) แต่ v ( a ) > v ( b )ความขัดแย้ง$x'$$a$$v(x') \geq v(b)$$x'$$b$$v(a) < v(x') < v(b)$$v(a) > v(b)$

ด้วยการใช้กฎ 2 และกฎ 3 เราสามารถรับOง่าย ๆ แต่ไม่ดี( n 2 )$O(n^2)$อัลกอริทึมดี เนื่องจากเป็นลำดับแบบอนุกรมให้ถือว่าอินพุตมีการแสดงทรีของPโดยที่แต่ละโหนดแสดงถึงองค์ประกอบของอนุกรมหรือองค์ประกอบแบบขนานและใบไม้เป็นงานเดี่ยว เราสามารถหาวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดกับการสำรวจเส้นทางของต้นไม้โดยการรักษาค่าคงที่ว่าทางออกที่ดีที่สุดสำหรับแต่ละปัญหาย่อยคือห่วงโซ่ในการเพิ่มมูลค่า$P$$P$

สมมติว่าเป็นองค์ประกอบของชุดของปัญากับ posets P 1และP 2 ขอให้แก้ปัญหาที่ดีที่สุดได้รับการสั่งซื้อC 1และC 2 ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับPคือการเชื่อมโยงของโซ่เหล่านี้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่างานแรกในC $P$$P_1$$P_2$$C_1$$C_2$$P$$C_2$มีค่าต่ำกว่างานล่าสุดใน 1 เพื่อรักษาค่าคงที่ว่าการแก้ปัญหาเป็นห่วงโซ่เรียงเราใช้กฎ 3 + กฎ 2 เพื่อรวมจุดสิ้นสุดตราบใดที่พวกเขาไม่ได้อยู่ในลำดับที่เรียง$C_1$

ถ้าแทนองค์ประกอบแบบขนานเราก็จะใช้เชนเรียงลำดับS $P$$S_1$และแล้วรวมเข้าด้วยกันเป็นลูกโซ่ใหม่ที่เรียงกัน ขอบคุณที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี้ถูกต้อง$S_2$

แต่น่าเสียดายที่ขั้นตอนวิธีนี้คือ ) เพื่อให้ได้O ( n $O(n^2)$อัลกอริทึม o g n )เราจำเป็นต้องคำนวณเชนอย่างเกียจคร้านโดยใช้กฎ 1$O(nlogn)$

หากปัญหาย่อยมีเพียงโหนดที่ข้อ จำกัด ของลำดับความสำคัญเหมือนกันกับลำดับของค่าเราก็สามารถลืมข้อ จำกัด ที่มาก่อนได้อย่างสมบูรณ์และดูเฉพาะค่าเท่านั้น สิ่งนี้จะทำให้มั่นใจได้โดยค่าคงที่เดียวกันกับที่ทำให้มั่นใจได้ว่าการแก้ปัญหาจะถูกจัดเรียงโซ่ในอัลกอริทึมก่อนหน้า

แทนที่จะคำนวณห่วงโซ่เรียงสำหรับแต่ละปัญหาย่อยเรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาย่อยเป็นคู่ของฟีโบนักชีฮีปหนึ่งฮีปหนึ่งนาทีและหนึ่งฮีปสูงสุดทั้งสองมีงานทั้งหมดในโปรเจ็กต์ย่อย ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเปิดองค์ประกอบขั้นต่ำหรือสูงสุดของการแก้ปัญหาในเวลาลอการิทึม

ก่อนหน้านี้เราทำการสำรวจเส้นทางล่วงหน้า ที่ไหน$P$เป็นองค์ประกอบแบบอนุกรมเราจะตรวจสอบงานสูงสุดของคู่ฮีปแรกและงานต่ำสุดของคู่ฮีปที่สอง หากค่าของพวกเขาไม่เป็นระเบียบเราจะนำมันออกมาและรวมเข้าด้วยกันโดยใช้กฎที่ 2 และ 3 จากนั้นเราจะเปรียบเทียบงานที่สร้างขึ้นใหม่กับจุดสิ้นสุดใหม่ เมื่อจุดสิ้นสุดไม่มีค่าการสั่งซื้ออีกต่อไปเราสามารถลืมข้อ จำกัด ลำดับความสำคัญแบบอนุกรมได้อย่างปลอดภัยด้วยกฎข้อที่ 1 จากนั้นเราเพิ่งผลักงานที่สร้างขึ้นใหม่หากมีอยู่บนกองแล้วผสานฮีปเพื่อสร้างคู่ฮีป เพื่อตัวเอง$P$

สำหรับการจัดองค์ประกอบแบบขนานเราก็รวมคู่ฮีปเข้าด้วยกัน heap ขั้นต่ำใหม่คือการผสานของ min heap จากแต่ละ subproblem และเช่นเดียวกันกับ max heap โปรดทราบว่ากองฟีโบนักชีจะรวมกันในเวลาคงที่

เมื่อเรามีคู่ฮีปที่เป็นตัวแทนของการแก้ปัญหาทั้งหมดเราสามารถหาวิธีการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงโดยการสั่งปิด heap ขั้นต่ำจนกว่าจะว่าง หลังจากนั้นเราเลิกทำการแทนที่กฎ 2 ทั้งหมดเพื่อหาวิธีแก้ไขปัญหาเดิม

แต่ละงานที่แตกออกจากฮีปนั้นจะถูกรวมเข้ากับงานใหม่ทันทีลดจำนวนงานทั้งหมดหรือถูกตอกขึ้นมาหนึ่งครั้งในตอนท้าย ดังนั้นจึงมีจำนวนเชิงเส้นของ heap ปรากฏที่นำไปสู่เวลาตลอดเวลา การดำเนินการอื่น ๆ คือเวลาคงที่ต่อโหนดหรืองานและเป็นเชิงเส้นมากกว่าทั้งหมด$O(nlogn)$