ปัญหาการตั้งค่า "งู"

ขณะที่เขียนบทความเล็ก ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของวิดีโอเกมNibblerและSnake ; ฉันพบว่าทั้งคู่สามารถสร้างแบบจำลองเป็นปัญหาการกำหนดค่าใหม่บนกราฟระนาบ และดูเหมือนว่าไม่น่าเป็นไปได้ว่าปัญหาดังกล่าวยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างดีในพื้นที่วางแผนการเคลื่อนที่ (ลองนึกภาพตัวอย่างเช่นโซ่ของรถม้าหรือหุ่นยนต์ที่เชื่อมโยงกัน) เกมดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันดีอย่างไรก็ตามนี่เป็นคำอธิบายสั้น ๆ ของรูปแบบการกำหนดค่าใหม่ที่เกี่ยวข้อง:

ปัญหางู

การป้อนข้อมูล : รับภาพถ่ายกราฟ , Lกรวดหน้า1 , . . , พีลิตรจะถูกวางไว้บนโหนดU 1 , . . , ยูลิตรที่เป็นเส้นทางที่ง่าย ก้อนกรวดเป็นตัวแทนของงูและคนแรกที่p 1คือหัวของเขา หัวสามารถเคลื่อนย้ายจากตำแหน่งปัจจุบันไปยังโหนดอิสระที่อยู่ติดกันและร่างกายตามมา บางโหนดมีการทำเครื่องหมายด้วยจุด; เมื่อหัวถึงโหนดที่มีจุดร่างกายจะเพิ่มขึ้นตาม$G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$ก้อนกรวดในต่อไปนี้อีย้ายของหัว จุดบนโหนดนั้นจะถูกลบหลังจากการเคลื่อนที่ของงู$e$$e$

ปัญหา : เราถามว่างูสามารถเคลื่อนย้ายไปตามกราฟและไปถึงการกำหนดค่าเป้าหมาย ซึ่งการกำหนดค่าเป้าหมายเป็นคำอธิบายแบบเต็มของตำแหน่งงูนั่นคือตำแหน่งของก้อนกรวด$T$

มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าปัญหางูเป็นปัญหา NP-hard ในกราฟระนาบของ max degree 3 แม้ว่าจะไม่มีการใช้จุดและบนกราฟกริด SOLID ถ้าเราสามารถใช้จำนวนจุดโดยพลการ สิ่งต่างๆมีความซับซ้อนบนกราฟกริดแบบทึบโดยไม่มีจุด (เกี่ยวข้องกับปัญหาเปิดอื่น)

ฉันอยากจะรู้ว่าปัญหาได้รับการศึกษาภายใต้ชื่ออื่น
และโดยเฉพาะถ้ามีหลักฐานว่าเป็น NP ...

แก้ไข:ปัญหากลายเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์แม้บนกราฟระนาบและผลลัพธ์ดูเหมือนน่าสนใจมากดังนั้นจึงยังคงต้องดูว่าเป็นปัญหาใหม่หรือไม่และหากมีผลลัพธ์เป็นที่รู้จัก

ตัวอย่างง่ายๆ (ก้อนกรวดแสดงเป็นสีเขียวหัวของงูคือ P1)

การย้ายงูจากตำแหน่งหนึ่งไปอีกตำแหน่งหนึ่งนั้นเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์ งูเป็นสิ่งเล็กน้อยใน PSPACE เราให้การลดความแข็ง PSPACE จากข้อ จำกัด Nondeterministic ของ Hearn

ตรรกะข้อ จำกัด Nondeterministic

$1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

งู

ในการก่อสร้างของเราหัวของงูจะไล่ตามหางในระยะทางที่สั้นและจะถูกบังคับให้ทำซ้ำรอบเดียวกันโดยมีการดัดแปลงเล็กน้อย เราฝังกราฟข้อ จำกัด แต่ละอันดังรูป (ขอบที่แสดงด้วยสีแดง) ซึ่งเราระบุตำแหน่งของงูด้วยเส้นหนา ขอบมีสองด้าน (จุดยอด) และงูใช้เส้นทางกลางที่จุดยอดซึ่งเป็นขอบกำกับ

ในการย้อนกลับขอบงูแรกล้างเส้นทางกลางและจากนั้นใช้เส้นทางกลางเมื่อหัวของมันมาถึงจุดสุดยอดตรงข้าม

$2$

ในที่สุดเส้นสีดำของแกดเจ็ตขอบทั้งหมดเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างรอบเดียวดังนั้นหัวของงูจึงไล่ตามหาง หากระหว่างอุปกรณ์ทั้งสองของขอบเราทำให้เส้นทางสีดำยาวพอสมควรงูจะต้องสำรวจเส้นทางสีดำตามลำดับวงรอบเสมอ

หากต้องการแสดงให้เห็นว่าเส้นทางสีดำสามารถสร้างได้ในลักษณะระนาบเสมอพิจารณาทรีย่อยที่ทอด (ขอบหนาในรูปด้านล่าง) ของกราฟข้อ จำกัด จากนั้นเราสามารถทำให้ขอบสีดำติดตามต้นไม้นี้ตามภาพประกอบด้านล่างทำให้เกิดกราฟระนาบ

ตำแหน่งเป้าหมายของงูสามารถได้มาจากการเปลี่ยนแปลงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดค่างูใหม่จึงเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์แม้บนกราฟระนาบ