กราฟลูกบาศก์แบ่งส่วนขอบออกเป็นกรงเล็บและเส้นทาง

อีกครั้งปัญหาขอบแบ่งพาร์ทิชันที่มีความซับซ้อนผมขี้สงสัย, แรงบันดาลใจจากคำถามก่อนหน้านี้ของฉัน

อินพุต: a ลูกบาศก์กราฟ$G=(V,E)$

คำถาม:มีพาร์ทิชันของเป็นซึ่งกราฟย่อยที่เกิดจากแต่ละอันนั้นเป็นทั้งเล็บ (เช่นมักเรียกว่าดาว) หรือ -path ( เช่น )?E 1 , E 2 , ... , E s E ฉันK 1 , 3 3 P $E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

ฉันคิดว่าฉันเห็นกระดาษหนึ่งวันที่ปัญหานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ แต่ฉันไม่สามารถหามันได้อีกต่อไปและฉันจำไม่ได้ว่าผลลัพธ์นั้นใช้กับกราฟลูกบาศก์หรือไม่ ในเรื่องที่เกี่ยวข้องฉันทราบว่าการแบ่งขอบกราฟเป็นสองส่วนในก้ามนั้นคือ NP-complete (ดูDyer and Frieze ) ใครบ้างมีการอ้างอิงสำหรับปัญหาที่ฉันอธิบายหรือสิ่งที่เกี่ยวข้อง (เช่นปัญหาเดียวกันในชั้นเรียนกราฟอื่นที่ฉันสามารถลองลดเป็นลูกบาศก์กราฟ)

นี่ไม่ใช่คำตอบสำหรับความซับซ้อนของปัญหา แต่อย่างน้อยก็แสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนมีโอกาสที่จะไม่เกิดขึ้นจริง: มันเป็นตัวอย่างของกราฟลูกบาศก์ที่ไม่สามารถแบ่งพาร์ติชันเป็นพา ธ และกรงเล็บได้

_{(ที่มา: uci.edu )}

ภายในแต่ละแฉกสามแฉกพาร์ติชั่นใด ๆ เข้าไปในเส้นทางและกรงเล็บสามารถใช้ได้แค่หกจากเจ็ดขอบเท่านั้น ขอบกลางที่เหลืออีกหกอันอยู่ในรูปแบบของก้ามปูซึ่งแบ่งเป็นขอบแต่ละอันซึ่งไม่สามารถแบ่งพาร์ติชันเป็นพา ธ และกรงเล็บได้

การทางพิเศษแห่งประเทศไทย : กราฟที่แสดงด้านบนมีชื่อเสียงมากขึ้นเป็นตัวอย่างของกราฟลูกบาศก์โดยไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ แต่กราฟลูกบาศก์ทุกลูกบาศก์ที่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบมีการสลายตัวเป็นเส้นทาง (ไม่แม้แต่ใช้กรงเล็บใด ๆ ) โดยทฤษฎีบทของKönigสิ่งนี้รวมถึงกราฟ bipartite ลูกบาศก์ทั้งหมดและโดยทฤษฎีบทของ Petersen สิ่งนี้รวมถึงกราฟลูกบาศก์ bridgeless ทั้งหมดตอบคำถามของ Joseph Malkevitch ในความคิดเห็น

การพิสูจน์นั้นง่ายมาก: ถ้า M เป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในรูปลูกบาศก์ลูกบาศก์การลบ M ออกจากกราฟ 2 รูปแบบปกตินั่นคือการรวมกันของวงจรที่แยกออกจากกัน จัดทิศทางแต่ละรอบโดยพลการและแนบยูวีของขอบแต่ละอันของ M เข้ากับขอบวงรอบที่ตามคุณและ v ในทิศทางของรอบของพวกเขา

ในอีกทางหนึ่งหากมีการสลายตัวในเส้นทางแล้วมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ: ขอบตรงกลางของแต่ละเส้นทางจะต้องตรงกันเนื่องจากไม่มีสองขอบกลางสามารถแบ่งปันจุดสุดยอดระดับสาม

(ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: แนวคิดนี้อาจมีอยู่แล้วในการพูดคุยที่ได้รับเชิญของ Carsten Thomassen ที่ GD 2010 ซึ่งเป็นปัญหาเกี่ยวกับการสลายตัวของกราฟประเภทนี้)

(นอกเหนือจากข้อจำกัดความรับผิดชอบ (โดย Anthony Labarre): "แนวความคิด" สำหรับการไปจากการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบไปยังพาร์ติชันเข้าสู่เส้นทางที่ปรากฏในบทความนี้โดยJünger, Reinelt และ Pulleyblankผู้อ้างถึง WH Cunningham)

ดูเหมือนว่าฉันพลาดบทความอื่นโดย Dyer และ Friezeซึ่งพวกเขาพิสูจน์ว่าการแบ่งขอบของกราฟ bipartite ระนาบเชิงระนาบเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อด้วยขอบคือ NP-complete สำหรับ (ทฤษฎีบท 3.1 หน้า 145) พวกเขาแสดงความคิดเห็นว่าปัญหาสามารถแสดงให้เห็นว่ายังคงอยู่ที่ NP-complete สำหรับหากทุกจุดมีองศาหรือซึ่งถ้าฉันแยกวิเคราะห์สิ่งนี้วิธีที่ผิดรวมถึงปัญหาของฉัน (เนื่องจากอินพุตเป็น bipartite กราฟไม่มีแปลก รอบและโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีรูปสามเหลี่ยมซึ่งหมายความว่ากราฟย่อยเดียวที่เราสามารถใช้ได้คือกรงเล็บและเส้นทาง)k ≥ 3 k = 3 2 $k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

นี่ไม่ใช่จุดจบของเรื่องจริง: ถ้าลูกบาศก์กราฟเป็นสองฝ่ายแล้วมันง่ายที่จะแบ่งชุดของขอบโดยใช้กรงเล็บเท่านั้นโดยเลือกหนึ่งชุดของสองฝ่ายและทำให้มันเป็น "ศูนย์กรงเล็บ" ปัญหาทั่วไปนั้นยากมากซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าใช้การลดลงของ CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3 SATISFIABILITY รายละเอียดทั้งหมดอยู่ได้อย่างอิสระสามารถเข้าถึงได้บน arXiv

บางทีบทความนี้อาจเป็นที่สนใจ:

Kleinschmidt, Peter พาร์ทิชันปกติของกราฟปกติ Canad คณิตศาสตร์. วัว. 21 (1978), ครั้งที่ 2, 177–181

มันเกี่ยวข้องกับกราฟที่สามารถเขียนเป็นสหภาพของ "Z-path" ของความยาว 3 (โดยเฉพาะ, ระนาบ, 3-valent, กราฟที่เชื่อมต่อ 3-cubic 3-polytopes)