ความซับซ้อนของการเสร็จ n-queens?

27

ปัญหา -queens แบบคลาสสิกจะถามด้วยการได้รับจำนวนเต็มบวกไม่ว่าจะมีอาร์เรย์ของจำนวนเต็มตามเงื่อนไขต่อไปนี้: $n$ $n$ $Q[1..n]$

สำหรับ $1\le Q[i] \le n$ $i$
สำหรับทุกคน $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
สำหรับทุกคน $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
สำหรับทั้งหมด $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

แต่ละจำนวนเต็มหมายถึงตำแหน่งของราชินีบนแถวของ TH กระดานหมากรุก; ข้อ จำกัด ที่เข้ารหัสความต้องการที่ไม่มีราชินีโจมตีราชินีอื่น ๆ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่ามีการแก้ปัญหาเมื่อหรือและปิดรูปแบบการแก้ปัญหาที่เป็นที่รู้จักสำหรับค่าอื่น ๆ ทั้งหมดของnดังนั้นในฐานะที่เป็นปัญหาในการตัดสินใจปัญหาของ -queens จึงเป็นเรื่องเล็กน้อยอย่างสมบูรณ์ $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

อัลกอริทึม backtracking มาตรฐานสำหรับการก่อสร้างแก้ปัญหา -queens คร่าวสถานราชินีบนคำนำหน้าแถวแล้วซ้ำกำหนดว่ามีตำแหน่งทางกฎหมายของราชินีบนแถวที่เหลือ ปัญหาย่อยซ้ำสามารถทำเป็นทางการดังนี้: $n$

รับจำนวนเต็มและอาร์เรย์ของจำนวนเต็มเป็นคำนำหน้าของอาร์เรย์ที่อธิบายวิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหา -queens หรือไม่ $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

นี่เป็นปัญหาในการตัดสินใจทั่วไปปัญหา NP-hard หรือไม่?

มีคำถามหลายข้อที่อยู่ใกล้เคียงว่าเป็นปัญหา NP-hard รวมทั้ง Latin Square เสร็จสิ้น [ Colbourn 1984 ], Sudoku complete [Yato and Seta 2002 ], และลักษณะทั่วไปที่แตกต่างกันของ -queens [ Martin 2007 ] แต่คำถามนี้ดูเหมือนว่าจะหนี ความสนใจอย่างจริงจังใด ๆ $n$

คำถาม cstheory.se ที่เกี่ยวข้อง:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
แหล่งที่มา

2

ฉันสงสัยว่าการพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบของ NP ที่มีอยู่ของ Sudoku, การทำละตินสแควร์เสร็จสมบูรณ์, (และปัญหาอื่น ๆ ที่คล้ายกันจำนวนมาก) ... จริง ๆ แล้วเกี่ยวข้องกับการย่อ / กระจัดกระจายในกรณี (เช่นในการพิสูจน์ NPC Latin Square Completion บอกว่า "การเป็นสมาชิกใน NP ทันที" แต่เขาไม่ได้พูดถึงปัญหาการเข้ารหัสอินสแตนซ์ใด ๆ )

— Marzio De Biasi

1

@Marzio: หลักฐานเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทนและ (แม้ว่าจะไม่ได้กล่าวถึงนี้) ก็มักจะไม่สำคัญที่จะสร้างการเป็นสมาชิกใน NP เช่นดูcstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András Salamon

16

มันใช้เวลาหลายปี แต่โพสต์นี้เป็นแรงบันดาลใจให้เราเขียนบทความที่ออกมาในวันนี้

คำตอบคือ n การเสร็จสมบูรณ์ของควีนส์คือ NP-Complete อย่างไรก็ตามสำหรับการเปิดเผยอย่างสมบูรณ์ควรระบุว่าเราแก้ปัญหาได้เล็กน้อย ในกรณีของเราชุดของราชินีไม่จำเป็นต้องเป็นคำนำหน้าของชุดเต็ม ในทางเทคนิคแล้วเรายังไม่ได้แก้ปัญหาที่ถูกถามที่นี่ อย่างไรก็ตามมันจะน่าประหลาดใจอย่างยิ่งหากเวอร์ชันของ n Queens Completion จากการสืบค้นนี้ยังไม่สมบูรณ์

ฉันต้องการทำซ้ำขอขอบคุณที่เราใส่ไว้ในกระดาษให้กับJeffεสำหรับตั้งคำถามนี้ที่นี่

ความซับซ้อนของ n Queens Completion Journal ของ AI Research Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— Ian Gent
แหล่งที่มา

ดี ขอแสดงความยินดี!

— Jeffε

n - 1

$n-1$

n

$n$

6

(นี่ชี้ไปที่ผลลัพธ์บางอย่างที่เกี่ยวข้องในตอนแรกฉันคิดว่าผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องนั้นมีความเกี่ยวข้องมากแต่ฉันไม่สามารถเติมเต็มช่องว่างได้อย่างรวดเร็วดังนั้นบางทีพวกเขาอาจจะไม่เกี่ยวข้องกันเลย

แบบฝึกหัด 118 ในส่วน (ร่าง) 7.2.2.2 ของศิลปะการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ดูปัญหาที่คล้ายกันมาก ในการแก้ปัญหา Knuth ให้เครดิตบทความที่จะให้เครดิต

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, บนความซับซ้อนในการคำนวณของการสร้างโครงตาข่ายจาก X-rays , 1999

$[2]=\{0,1\}$

$r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันเกี่ยวกับวิธีลดปัญหาของคุณ การสังเกตอย่างหนึ่งที่อาจช่วยได้ก็คือผลลัพธ์ของปัญหาของคุณนั้นขึ้นอยู่กับผลรวมเท่านั้นไม่ใช่การวางตำแหน่งที่แน่นอนของราชินี (ดูทฤษฎีบท 2.4 ใน [Rivin, โซลูชั่นการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสำหรับปัญหา n-Queens, 1992], แม้ว่าบางทีนี่อาจเป็นเรื่องง่ายที่จะมองเห็น)

Knuth พิสูจน์ว่า BOMARY DIGITAL TOMOGRAPHY นั้นสมบูรณ์แบบด้วย NP โดยการลดลงจากปัญหาความไม่แน่นอนของ BINARY นี่เป็นปัญหาที่คล้ายกันมากยกเว้น 3 มิติและไม่มีเส้นทแยงมุม

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

$x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

บทความโดย Gardnera และคณะ ดูเหมือนว่าจะลดลงจากปัญหา NP-complete มาตรฐานมากขึ้น ฉันไม่เข้าใจการลดที่ดีพอที่จะอธิบายได้ที่นี่ดังนั้นฉันจะปล่อยพอยน์เตอร์จากด้านบนให้คุณสำรวจหากคุณต้องการ

ทั้งหมดนี้อาจไร้ประโยชน์เว้นแต่จะมีคนหาวิธีลด TOMOGRAPHY BINARY DIGITAL ให้กับคำถามที่ถูกถาม

— Radu GRIGore
แหล่งที่มา