มีข้อพิสูจน์ใด ๆ เกี่ยวกับความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการอ้างอิงตนเองหรือการเบี่ยงเบน?

นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้องกับคนนี้ นำมาใส่ใหม่ในรูปแบบที่ง่ายกว่ามากหลังจากการพูดคุยกันที่นั่นทำให้รู้สึกเหมือนเป็นคำถามที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

หลักฐานดั้งเดิมของความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักนั้นขึ้นอยู่กับการแสดงความขัดแย้งเมื่อพยายามใช้ HALT decider สมมุติกับตัวเอง ฉันคิดว่านี่เป็นเพียงการแสดงถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะมีผู้ตัดสิน HALT ที่ตัดสินใจว่าจะหยุดเองหรือไม่ แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ นอกเหนือไปจากที่เกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจยุติคดีอื่น ๆ

ดังนั้นคำถามคือ

มีหลักฐานว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการแสดงว่า HALT ไม่สามารถตัดสินใจได้และไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโต้แย้งในแนวทแยง

แก้ไขเล็ก ๆ : ฉันจะยืนยันประโยคเดิมของคำถามซึ่งกำลังขอหลักฐานที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการทำให้เป็นเส้นทแยงมุมเลย (แทนที่จะเป็นแค่การกำหนดให้ไม่ต้องขึ้นอยู่กับเส้นทแยงมุมที่ขึ้นอยู่กับ HALT)

ใช่มีข้อพิสูจน์ดังกล่าวในทฤษฎีการคำนวณ (ทฤษฎีการเรียกซ้ำ)

$0'$$G\subseteq\mathbb N$$\Sigma^0_1$$G$$G$$G$

เราสามารถแทนที่ 1- ทั่วไปได้ที่นี่โดยการสุ่ม 1 ครั้งคือMartin-Löf randomเพื่อผลเดียวกัน นี้ใช้เกณฑ์ทฤษฎีบท Jockusch-Soare ต่ำ

$0'$$\Omega$$\Omega$

โพสต์ใหม่จากความคิดเห็นของฉันตามคำขอ:

เริ่มต้นด้วยการสังเกตว่ามีปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ (อาร์กิวเมนต์ cardinality แบบง่าย) และยิ่งกว่านั้นมีปัญหาที่ไม่สามารถอธิบายได้ P ที่มี TM M ที่จดจำสมาชิกได้ (แต่อาจไม่สิ้นสุดสำหรับสมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิก) ทีนี้การแก้ไข HALT (M) จะช่วยให้คุณมี decider สำหรับ P. เราต้องตรวจสอบก่อนว่า M หยุดอยู่กับ x หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นเราจะเรียกใช้และกลับมาเหมือน M มิฉะนั้นเราจะปฏิเสธเนื่องจาก M หยุดการทำงานกับสมาชิกทุกคนของ P นี่คือความขัดแย้งเนื่องจากเราสันนิษฐานว่า P นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้

หมายเหตุ: เขาชี้แจงว่าเขากำลังมองหาข้อโต้แย้งที่หลีกเลี่ยงการทำให้เป็นเส้นทแยงมุมโดยใช้ HALT โดยตรงไม่ใช่ข้อโต้แย้งที่หลีกเลี่ยงการทำให้เกิดเส้นทแยงมุมทั้งหมด

แก้ไข: อาร์กิวเมนต์นี้ติดอยู่ คุณสามารถแสดงได้โดยตรงว่า RE - REC นั้นไม่ว่างเปล่านอกจากการแสดงว่า HALT อยู่ในนั้นแล้วหรือไม่?

อีกโปสเตอร์ที่พูดถึงเรื่องนี้ (โดยการอ้างถึง Chaitin) แต่คุณสามารถใช้ Berry Paradox เพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาการลังเลไม่สามารถบอกได้ นี่คือภาพร่างสั้น ๆ ของหลักฐาน:

ให้ HALT เป็นเครื่องที่ตัดสินว่าเครื่อง M หยุดการทำงานของอินพุต I ใดเราจะแสดงให้เห็นว่า HALT นั้นไม่สามารถหยุดการป้อนข้อมูลเฉพาะซึ่งแสดงให้เห็นว่ามันไม่สามารถตัดสินใจภาษาได้

พิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้:

f (M, n) = a, โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ไม่ได้คำนวณโดยเครื่อง M บนอินพุตใด ๆ ที่ฉันด้วย | I | <n

สมมติว่า HALT เป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้ f ยังเป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้ เพียงจำลอง HALT (M, I) สำหรับทุกเครื่อง M และอินพุตสตริง I ที่มีความยาวน้อยกว่า n หากการจำลองหยุดการทำงานให้จำลอง M (I) และบันทึกว่าเอาต์พุตคืออะไรและค้นหาเอาต์พุตที่เล็กที่สุด a ซึ่งไม่ได้เอาต์พุตโดยคู่ M, n ใด ๆ

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่า f ไม่สามารถคำนวณได้: พิจารณา f (f, 10,000000 * | f | +10000000) สิ่งที่มันจะออกมันควรจะเป็นจำนวนเต็ม (บวก) ที่ไม่ได้คำนวณโดยเครื่องคำนวณ f ในอินพุตฉันที่มีความยาวน้อยกว่าที่กำหนดให้ ... อินพุต

ดังนั้น f ไม่สามารถคำนวณได้ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ HALT คำนวณได้จึงเป็นเท็จ ฉันไม่เชื่อว่าการพิสูจน์นี้ทำให้การใช้เส้นทแยงมุมใด ๆ

$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$$f$$e$$W_e = W_{f(e)}$$0$$f$$e$$0$$W_e$$0$$e$$W_e(0)$$W_{f(e)}(0)$