การประเมินการรวมหลายวงของวงจรคณิตศาสตร์?

ให้เป็นพหุนามหลายตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์กว่าฟิลด์Fmultilinearization ของ , แสดงโดยเป็นผลมาจากการเปลี่ยนซ้ำ ๆ แต่ละกับโดยx_iผลที่ได้คือพหุนามหลายชั้น $p(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $p$ $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

พิจารณาปัญหาดังต่อไปนี้ให้วงจรเลขคณิตมากกว่าและได้รับองค์ประกอบฟิลด์คำนวณa_n) $C(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $a_1,\ldots,a_n$ $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

คำถาม: สมมติว่าการคำนวณภาคสนามสามารถทำได้ในหน่วยเวลามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับสิ่งนี้หรือไม่? เพิ่มในภายหลัง: ฉันก็จะสนใจในกรณีพิเศษที่เป็นสูตรจริง (วงจรของ fan-out ) $C$ $1$

cc.complexity-theory polynomials

— slimton
แหล่งที่มา

ทำไมมันถึงเทียบเท่ากับการคำนวณเอาท์พุทของวงจรปิด ปัญหาที่ฉันเผชิญคือวงจรสามารถแยกเส้นทางจากอินพุตไปยังโหนดการคูณภายในหลายโหนดและการประเมินแต่ละโหนดการคูณภายในเหล่านั้นจะต้องแทนที่โดยในหนึ่งเส้นทางและอีกในที่อื่น ในวงจรที่มีจำนวนพา ธ แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลดูเหมือนว่าจะมีจำนวนเคสที่ต้องดูแลเป็นจำนวนมาก

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

a_{i}

$a_i$

1

$1$

— slimton

@Kaveh: ฉันไม่เข้าใจ ดูที่วงจรx) หากคุณเพียงแค่เปลี่ยนโหนดของอินพุตโหนดที่มีค่าและประเมินผลด้วยวิธีมาตรฐานคุณท้ายกลับแทน แบบจำลองการคำนวณ: เวลาพหุนามปกติบนเครื่องทัวริง คิดว่าสนามเป็นเพื่อความเป็นรูปธรรมถ้าคุณต้องการ

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— slimton

@Kaveh: ฉันไม่เข้าใจว่าอัลกอริทึมดังกล่าวมีความหมายอย่างไรกับสิ่งที่คุณพูด แต่นี่ขัดแย้งกับสมมติฐานทั่วไปในความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต: ว่าปลัดไม่มีวงจรคณิตศาสตร์ขนาดโพลี (เหนือฟิลด์อื่นที่ไม่ใช่ F_2) พิจารณาพหุนามy_j) ส่วน multilinearของพหุนามนี้มีคุณสมบัติที่ระดับสูงสุดของตน (คน ) ส่วนหนึ่งเป็นเพียง{NN}) หากมีวงจรขนาดเล็กคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์แล้วสามารถแสดงให้เห็นว่ามีขนาดเล็กวงจรคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์R

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— Srikanth

@Srikanth: ฉันไม่เห็นความคิดเห็นของคุณก่อนโพสต์คำตอบของฉัน (ซึ่งกลายเป็นสิ่งก่อสร้างแบบเดียวกันกับที่คุณให้ไว้ในความคิดเห็นของคุณ) ฉันลบคำตอบแล้วและคุณควรโพสต์ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ

— Joshua Grochow

@ โจชัว: ฉันไม่ได้เพิ่มความคิดเห็นของฉันเป็นคำตอบเนื่องจากฉันไม่เข้าใจว่าทำไมการก่อสร้างของ Kaveh ฉันเห็นว่าวงจรเลขคณิตคำนวณพหุนามที่เห็นด้วยกับการรวมหลายครั้งที่อินพุตทั้งหมด แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะคำนวณอย่างเป็นทางการในการคำนวณหลายพหุนามของพหุนามที่กำหนด (ดูความเห็นของฉันหลังจากคำตอบของ Kaveh) การก่อสร้างของฉัน (และของคุณ) ถือว่าการคำนวณหลายระดับถูกคำนวณอย่างเป็นทางการ

— Srikanth

คำตอบ:

ในกรณีที่ฟิลด์มีขนาดอย่างน้อยฉันคิดว่าปัญหานี้ยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดว่าถ้าข้างต้นสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับขนาดใหญ่นี้แล้ว CNF-SAT มีอัลกอริทึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพ บอกว่าเราจะได้รับ CNF สูตร\เราสามารถสร้างวงจรเลขคณิตเพื่อคำนวณ `` arithmetization ''ของโดยที่พหุนามเห็นด้วยกับสูตรในอินพุต -พิจารณา multilinearizationของพีโปรดสังเกตว่า $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ เห็นด้วยกับและด้วยเหตุนี้ใน n $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

ฉันอ้างว่าไม่ใช่ศูนย์ iffเป็นที่น่าพอใจ เห็นได้ชัดว่าถ้าดังนั้นจะไม่พอใจ สำหรับการสนทนาเราสามารถแสดงให้เห็นว่าพหุนามหลายระดับที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ไม่สามารถหายไปในทั้งหมด นี่ก็หมายความว่าไม่ใช่ศูนย์ (และด้วยเหตุที่สอดคล้อง ) ไม่ได้หายไปในการป้อนข้อมูลบางอย่างใน n $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

ดังนั้นการตรวจสอบความพึงพอใจของจึงเท่ากับการตรวจสอบว่าไม่ใช่ศูนย์ บอกว่าตอนนี้เราสามารถประเมินบนสนามใหญ่ได้ จากนั้นใช้ Schwartz-Zippel Lemma เราสามารถทดสอบเอกลักษณ์โดยใช้อัลกอริธึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพและตรวจสอบว่าเป็นพหุนามศูนย์หรือไม่ (ขนาดของถูกใช้เพื่อ จำกัด ขอบเขตข้อผิดพลาดใน Schwartz-Zippel Lemma) $\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— Srikanth
แหล่งที่มา

สำหรับฉันดูเหมือนว่า F เป็นเขตข้อมูลคงที่เนื่องจากไม่มีสิ่งใดในอินพุตที่ระบุ F และโปรดทราบว่าคำถามสมมติว่าการดำเนินการในฟิลด์ใช้เวลาหน่วย

— Kaveh

ขอบคุณศรีกานต์ ตามที่ Kaveh เดาว่าฉันสนใจจริง ๆ ในคดีขอบเขตแน่นอน แต่คำตอบที่คุณให้ไว้นี้ช่วยให้ฉันเข้าใจคำถามได้ดีขึ้น

— slimton

สมมติว่ามีขั้นตอนวิธีการ polytime ว่าได้รับและคำนวณผลมาจากหลายเชิงเส้นของใน{a} (ฉันสงสัยว่าฉันจะสันนิษฐานว่า outputจะเป็นเวกเตอร์ของเลขฐานสอง -bitคือ iff theเป็นหนึ่ง) $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

ตั้งแต่มีวงจรบูลีน polysize ที่ให้การเข้ารหัสของวงจรเลขคณิตและค่าสำหรับตัวแปรที่คำนวณการคำนวณเชิงเส้นหลายเชิงเส้นของวงจรเลขคณิตบนอินพุต อนุญาตเรียกวงจรนี้M $P \subseteq P/poly$ $M$

ให้เป็นวงจรเลขคณิตโดยพลการ แก้ไขตัวแปรของวงจรบูลีนซึ่งอธิบายวงจรเลขคณิตดังนั้นเราจึงมีวงจรบูลีนในการคำนวณมัลติ - เชิงเส้นของบนอินพุตที่กำหนด $C$ $M$ $C$

เราสามารถเปิดวงจรนี้เป็นวงจรเลขคณิตมากกว่าโดยสังเกตว่าคือค่าทั้งหมด แต่แรกเพื่อเพิ่มปัจจัยการผลิตทั้งหมดเพื่ออำนาจP-1แทนที่แต่ละประตูโดยคูณแต่ละประตูโดยและแต่ละประตูโดย1-F $F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

ตามสมมติฐานที่เราทำข้างต้นเกี่ยวกับรูปแบบของการส่งออกที่เราสามารถเปิดเอาท์พุทจากไบนารีเป็นค่ามากกว่าF_pใช้เวลาแสดงผลสำหรับและรวมพวกเขาจะได้รับk}} $F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

นอกจากนี้เรายังสามารถแปลงอินพุตที่ให้เป็นค่าเหนือให้เป็นรูปแบบไบนารีเนื่องจากมีชื่อพหุนามผ่านจำนวนคะแนนที่ จำกัด เช่นถ้าเรากำลังทำงานในพิจารณาพหุนามและที่ให้ครั้งแรกและครั้งที่สองบิตของอินพุตF_3 $F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

รวมเหล่านี้เรามีวงจรเลขคณิตมากกว่าคอมพิวเตอร์หลายเชิงเส้นของมีขนาด polynomail ในขนาดของC $F_p$ $C$ $C$

— Kaveh
แหล่งที่มา

มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมวงจรเลขคณิตที่คุณอธิบายได้คำนวณการรวมหลายชั้นของหรือแม้แต่พหุนามพหุนามหลายชั้น ฉันสามารถเห็นได้ว่าวงจรเลขคณิตคำนวณพหุนามบางอย่างที่เห็นด้วยกับการรวมหลายระดับของในอินพุต -

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— Srikanth

@Srikanth: เวอร์ชันเลขคณิตของวงจรบูลีน (ที่มีอินพุตบางตัวคงที่) คำนวณรุ่น multilinear ของไม่จำเป็นต้องเป็นแบบหลายชั้น ปัญหาเดียวก็คืออินพุต / เอาต์พุตอยู่ในรูปแบบไบนารีไม่ใช่ค่าบนดังนั้นฉันเพียงแค่ต้องแก้ไขการเข้ารหัสสำหรับอินพุต / เอาต์พุตจากไบนารีไปเป็นค่าอินพุตและเอาต์พุตดั้งเดิม วงจรที่เกิดเป็นวงจรทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับค่าสำหรับตัวแปร , เข้ารหัสไว้ในไบนารีคำนวณมูลค่าของ multilinearization ของมากกว่าปัจจัยการผลิตเหล่านั้นและเอาท์พุทคำตอบในไบนารีและแล้วแปลพวกเขากลับไปF_p

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— Kaveh

[อย่างต่อเนื่อง] ผลที่ได้มันเป็นวงจรทางคณิตศาสตร์กับตัวแปรเดียวกับที่ได้และที่มีผลเหมือนกันและจะมีการคำนวณ multilinearization ของC

C

$C$

C

$C$

— Kaveh

@Kaveh: คุณสันนิษฐานว่าอินพุตไปยังวงจรบูลีนนั้นมีรูปแบบเดียวกับเอาท์พุทของหรือไม่? ไม่ว่าในกรณีใดฉันก็ยังไม่มั่นใจ มันเป็นไปได้ที่ดีเลิศสำหรับวงจรการคำนวณทางคณิตศาสตร์พหุนามว่าเห็นด้วยกับพหุนามที่ปัจจัยการผลิตทั้งหมดจากสนามและยังกรัม ตัวอย่างเช่นพหุนามเห็นด้วยกับที่อินพุตทั้งหมดและพวกเขาจะไม่เท่ากับพหุนาม คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าวงจรไม่ใช่แค่คำนวณพหุนามแบบไม่รวมหลายเส้นที่เห็นด้วยกับการรวมหลายระดับของที่อินพุตทั้งหมด

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— ศรีกันต์

@Srikanth: ฉันได้อธิบายรูปแบบของอินพุตและเอาต์พุตในคำตอบของฉัน อินพุตถึงอยู่ในรูปแบบไบนารีเอาต์พุตของอยู่ในรูปแบบที่ระบุข้างต้น ผมยังไม่ได้บอกว่ามันเป็น multilinear, ฉันมีเพียงบอกว่ามันคำนวณ multilinearization ของ C

M

$M$

M

$M$ $C$

— Kaveh