BosonSampling กระดาษหลีกเลี่ยงคลาสที่ง่ายของเมทริกซ์เชิงซ้อนได้อย่างไร?

ในความซับซ้อนของการคำนวณเชิงเส้นทัศนศาสตร์ ( ECCC TR10-170 ), สกอตต์ Aaronson และอเล็กซ์ Arkhipov ยืนยันว่าถ้าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมแล้วลำดับชั้นพหุนามทรุดลงไปในระดับที่สาม ปัญหาจูงใจคือการสุ่มตัวอย่างจากการกระจายที่กำหนดโดยเครือข่ายเชิงเส้นแสง การแจกแจงนี้สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ถาวร ในกรณีคลาสสิกรายการทั้งหมดของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นลบและมีอัลกอริทึมแบบพหุนามความน่าจะเป็นอยู่ดังแสดงโดย Mark Jerrum, Alistair Sinclair และ Eric Vigoda (JACM 2004, ดอย: 10.1145 / 1008731.1008738) ในกรณีที่ควอนตัมรายการเป็นจำนวนเชิงซ้อน โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป (เมื่อไม่จำเป็นต้องเป็นรายการที่ไม่เป็นลบ) ถาวรไม่สามารถประมาณได้แม้ในปัจจัยคงที่โดยผลคลาสสิก 1979 ของ Valiant

กระดาษกำหนดการกระจายกำหนดโดยเมทริกซ์Aและปัญหาการสุ่มตัวอย่าง$D_A$$A$

BosonSampling
Input: matrix ตัวอย่าง:จากการแจกแจงD $A$
$D_A$

การใช้ผลความแข็งดูเหมือนจะเป็นหลักฐานที่อ่อนแอสำหรับการแยกระหว่างโลกคลาสสิกและควอนตัมเนื่องจากเป็นไปได้ว่าคลาสของเมทริกซ์ในการตั้งค่าควอนตัมที่เฉพาะเจาะจงทั้งหมดจะอยู่ในรูปแบบพิเศษ อาจมีรายการที่ซับซ้อน แต่อาจมีโครงสร้างจำนวนมาก ดังนั้นจึงอาจมีกระบวนการสุ่มตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวแม้ว่าปัญหาทั่วไปคือ # P-hard

การใช้งาน BosonSampling ในกระดาษหลีกเลี่ยงชั้นเรียนง่าย ๆ ได้อย่างไร?

กระดาษใช้พื้นหลังจำนวนมากที่ฉันไม่มีในความซับซ้อนของควอนตัม เมื่อพิจารณาจากจำนวนผู้คนในเว็บไซต์นี้ฉันขอขอบคุณตัวชี้ไปในทิศทางที่ถูกต้อง ข้อโต้แย้งจะเกิดขึ้นได้อย่างไรหากเราค้นพบว่าคลาสของเมทริกซ์ที่มีค่าเชิงซ้อนที่เห็นในการตั้งค่าการทดลองเฉพาะนั้นสอดคล้องกับชั้นของการแจกแจงที่ง่ายต่อการสุ่มตัวอย่าง หรือมีบางสิ่งบางอย่างในระบบควอนตัมที่รับประกันได้ว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น?

ขอบคุณสำหรับคำถามของคุณ! มีสองคำตอบขึ้นอยู่กับว่าคุณสนใจผลความแข็งสำหรับการสุ่มตัวอย่าง Boson ที่แน่นอนหรือโดยประมาณ

ในกรณีที่แน่นอนเราพิสูจน์ว่าด้วยเมทริกซ์เชิงซ้อน n-by-n ใด ๆคุณสามารถสร้างการทดลองทางแสงที่สร้างผลลัพธ์เฉพาะที่มีความน่าจะเป็นเป็นสัดส่วนต่อ | ต่อ (A) | ² . นี้ในการเปิดหมายความว่าไม่มีอัลกอริทึมพหุนามเวลาคลาสสิกสามารถลิ้มลองจากว่าการกระจายเช่นเดียวกับการทดลองออปติคอล (รับรายละเอียดของการทดลองเป็น input ก) เว้นแต่ P ^#P = BPP NP ในความเป็นจริงเราสามารถเพิ่มความแข็งแกร่งนั้นได้เพื่อให้การแจกแจงเดี่ยว D _n (ขึ้นอยู่กับความยาวอินพุต n) เท่านั้นที่สามารถสุ่มตัวอย่างได้โดยใช้การทดลองทางแสงขนาดโพลี (n) แต่ไม่สามารถสุ่มตัวอย่างแบบคลาสสิกในโพลี (n) ) เวลาเว้นแต่ P ^#P = BPP NP

ในกรณีโดยประมาณสถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น ผลลัพธ์หลักของเราบอกว่าหากมีอัลกอริธึมแบบพหุนามเวลาแบบคลาสสิกที่จำลองการทดลองทางแสงแม้กระทั่งประมาณ (ในแง่ของการสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงความน่าจะเป็นมากกว่าผลที่ได้คือ 1 / poly (n) - ในระยะการเปลี่ยนแปลง) ^NPคุณสามารถประมาณ | ต่อ (A) | ^{2 ที่}มีความน่าจะเป็นสูงกว่าเมทริกซ์ n-by-n ของ iid Gaussians ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1

เราคาดการณ์ว่าปัญหาข้างต้นคือ # P-hard (อย่างน้อยที่สุดไม่ใช่ใน BPP ^NP ) และหน้า 57-82 ของบทความของเราล้วนเป็นหลักฐานเกี่ยวกับการคาดเดานั้น

แน่นอนบางทีการคาดคะเนของเราอาจผิดพลาดและเราสามารถให้อัลกอริธึมแบบโพลี - ไทม์เพื่อประมาณค่าความคงทนของเมทริกซ์ iid Gaussian นั่นจะเป็นผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม! อย่างไรก็ตามจุดทั้งหมดของ 85% ของงานที่เราทำคือการวางรากฐานทุกอย่างบนการคาดเดาความแข็งที่สะอาดเรียบง่ายและ "ปราศจากควอนตัม" เท่าที่จะทำได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนที่จะเป็นข้อสันนิษฐาน

"การประมาณค่าความคงทนของเมทริกซ์พิเศษแปลก ๆ บางอย่างที่เกิดขึ้นในการทดลองของเราคือ # P-hard"

เราแสดงว่ามันพอเพียงที่จะทำให้สมมติฐาน

"การประมาณค่าความคงทนของเมทริกซ์ iid Gaussian คือ # P-hard"