การประยุกต์โทโพโลยีกับวิทยาการคอมพิวเตอร์

ฉันต้องการเขียนแบบสำรวจเกี่ยวกับการใช้งาน Topology ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฉันวางแผนที่จะครอบคลุมประวัติศาสตร์ของความคิดทอพอโลยีในวิทยาการคอมพิวเตอร์และยังเน้นการพัฒนาในปัจจุบันไม่กี่ มันจะมีประโยชน์อย่างมากถ้าใครสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับคำถามใด ๆ ด้านล่าง

1. มีเอกสารหรือหมายเหตุใดบ้างที่อธิบายลำดับเหตุการณ์ของการใช้โทโพโลยีในวิทยาการคอมพิวเตอร์หรือไม่?

2. การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในโทโพโลยีเพื่อวิทยาการคอมพิวเตอร์คืออะไร

3. สิ่งที่น่าสนใจที่สุดของงานปัจจุบันที่ใช้โทโพโลยีเพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกในการคำนวณคืออะไร

ขอบคุณ!

โดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่าการประยุกต์ใช้โทโพโลยีที่น่าสนใจที่สุดคืองานของ Herlihy และ Shavit พวกเขาใช้ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตในการจำแนกลักษณะการคำนวณแบบกระจายแบบอะซิงโครนัสและให้การพิสูจน์ใหม่ของผลลัพธ์ที่รู้จักที่สำคัญและทำให้เกิดปัญหาเปิดที่ยาวนาน พวกเขาชนะรางวัล Godel ประจำปี 2004 สำหรับงานนั้น

"โครงสร้างทอพอโลยีของการคำนวณแบบอะซิงโครนัส" โดย Maurice Herlihy และ Nir Shavit, วารสาร ACM, Vol. 46 (1999), 858-923,

โทโพโลยีเป็นวินัยที่สมบูรณ์พร้อมฟิลด์ย่อยที่หลากหลายรวมถึงเรขาคณิตพีชคณิตเมทริกชุดจุดและ (การลดค่าตนเอง) โทโพโลยีแบบไม่มีจุดหมาย วิทยาการคอมพิวเตอร์ยังค่อนข้างกว้างและมีขอบเขตย่อยทางคณิตศาสตร์มากมายดังนั้นฉันจึงคาดหวังว่าการประยุกต์ใช้ความคิดเชิงทอพอโลยีใน CS Marshall Stone กล่าวว่า "topologize เสมอ" และนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่มีพื้นฐานที่จำเป็นมักจะมี พอ blah ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ

ตัวอย่างเหล่านี้ไม่ใช่แค่ปัญหาด้าน CS ที่แก้ไขได้โดยทอพอโลยี บางครั้งความคิดทอพอโลยีถ่ายโอนได้ดีมากในการตั้งค่า CS หรือให้พื้นฐานสำหรับพื้นที่ย่อยของ CS

1. ความหนาแน่นของทฤษฎีบทแคลคูลัสเชิงประพจน์เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Tychonoff ความกะทัดรัดสำหรับลอจิกลำดับแรกมักจะพิสูจน์แตกต่างกัน Compactness เป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีโมเดลคลาสสิก

2. ทฤษฎีบทการเป็นตัวแทนของหินสำหรับพีชคณิตแบบบูลเกี่ยวข้องกับแบบจำลองของแคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูลีนและพื้นที่เชิงทอพอโลยีบางอย่าง ผลลัพธ์แบบคู่ชนิดเป็นหินได้มาจากโครงสร้างที่ใช้ในพีชคณิตเชิงตรรกะและซีแมนทิกส์ภาษาโปรแกรม

3. Nick Pippenger ใช้ทฤษฎีบทของ Stone กับพีชคณิตแบบบูลของภาษาปกติและใช้ทอพอโลยีเพื่อพิสูจน์ข้อเท็จจริงหลายประการเกี่ยวกับภาษาปกติ ดูความคิดเห็นของ Jean-Eric Pin สำหรับงานล่าสุดเกี่ยวกับทอพอโลยีในทฤษฎีภาษา

4. ในวิธีการอย่างเป็นทางการมีความคิดของความปลอดภัยและความเป็นอยู่ทรัพย์สิน ทรัพย์สินเชิงเส้นทุกเวลาสามารถแสดงเป็นจุดตัดของความปลอดภัยและทรัพย์สินที่มีชีวิตชีวา หลักฐานใช้โทโพโลยีระดับประถมศึกษา

5. MartínEscardóได้พัฒนาอัลกอริทึมและโปรแกรมที่เป็นลายลักษณ์อักษรเพื่อค้นหาเซตอนันต์ ฉันเชื่อว่าความกะทัดรัดเป็นองค์ประกอบสำคัญของงานนี้

6. การทำงานของ topologists โปแลนด์ (เช่น Kuratowski) ทำให้เราปิดกิจการ ตัวดำเนินการปิดในโปรยเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีการตีความที่เป็นนามธรรมซึ่งรองรับการวิเคราะห์โปรแกรมแบบคงที่

7. ตัวดำเนินการปิดและแนวคิดทอพอโลยีอื่น ๆ เป็นพื้นฐานของสัณฐานวิทยาทางคณิตศาสตร์

8. ความคิดของผู้ประกอบการตกแต่งภายในจากโรงเรียนโปแลนด์มีความสำคัญในการทำให้เป็นรูปธรรมของ logics กิริยา

9. วิทยาการคอมพิวเตอร์จำนวนมากขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ บางแอปพลิเคชั่นต้องการความสมบูรณ์ของการเชื่อมต่อและการไหลที่มากกว่าที่ได้จากกราฟและโทโพโลยีเป็นขั้นตอนต่อไปตามธรรมชาติ นี่คือการอ่านของฉันเกี่ยวกับออโตมาโตมิติสูงของ Van Glabbeek ในทฤษฎีการทำงานพร้อมกันและการประยุกต์ใช้ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตของ Eric Goubault กับความหมายของโปรแกรมที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

10. อาจเป็นแอพพลิเคชั่นที่ได้รับการกดมากที่สุดคือแอพพลิเคชั่นของทอพอโลยี (พีชคณิตในขั้นต้นถึงแม้ว่าจะมีการนำเสนอ combinatorial มากขึ้น) เพื่อกำหนดลักษณะของสถานการณ์การยอมรับข้อผิดพลาดบางอย่างในการคำนวณแบบกระจาย นอกจาก Herlihy และ Shavit ที่กล่าวถึงข้างต้นแล้ว Borowsky และ Gafni และ Saks และ Zaharouglou ก็ให้ proosf สำหรับการพัฒนาครั้งแรกเช่นกัน เฟรมเวิร์กการคำนวณแบบอะซิงโครนัสสร้างผลลัพธ์ดังกล่าวมากขึ้น

11. ทฤษฎีบทจุดคงที่ของนักเว่อร์ทำให้เกิดปัญหาหลายอย่างที่เราศึกษา ล่าสุดในการศึกษาทฤษฎีเกมอัลกอริทึม PPAD ระดับความซับซ้อนและ FixP ระดับความซับซ้อนของปัญหาจุดคงที่

12. ทฤษฎีบท Borsuk-Ulam มีแอปพลิเคชั่นหลายอย่างสำหรับกราฟและการฝังตัวชี้วัด สิ่งเหล่านี้อยู่ในหนังสือของJiříMatoušek

สิ่งเหล่านี้คือการเลือกน้อยในสิ่งที่มีอยู่ โชคดี!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-แคลคูลัส. ความหมายพื้นฐานอยู่บนพื้นฐานของความคิดของการประมาณที่กำหนดโดยการสั่งซื้อและการแก้ปัญหาของสมการจุดคงที่น้อยที่สุดและการแก้ปัญหาโดยทั่วไปจะมีอยู่

เกิดจากความหมายเชิง Denotational คือการเชื่อมโยงกับการตีความที่เป็นนามธรรมและการวิเคราะห์และการตรวจสอบโปรแกรม

การวิจัยในปัจจุบันรวมถึงการให้ความหมายเชิง Denotational สำหรับการใช้งานพร้อมกันและสำหรับภาษาควอนตัม

Abramsky จุงและให้สำรวจที่ดีของความคิดหลัก: ทฤษฎีโดเมน

ขอบเขตบนจำนวนของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อและโดยทั่วไปแล้วจำนวน Betti ของกึ่งพีชคณิตและการจัดเรียงไฮเปอร์เพลน (และการเติมเต็มของพวกเขา) ถูกนำมาใช้สำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าในการคำนวณพีชคณิตและต้นไม้การตัดสินใจ สำหรับการอ้างอิงขนาดใหญ่เพียงไม่กี่ข้อให้ดู:

Michael Ben-Or, ขอบเขตล่างสำหรับต้นไม้คำนวณพีชคณิต, STOC 1983, pp. 80-86

Andrew Chi-Chih Yao ความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจและหมายเลข Betti, J. Comput ระบบวิทย์ 55 (1997), ครั้งที่ 1 ตอนที่ 1, 36-43 (STOC 1994)

Anders Bjorner และ Laszlo Lovasz, ต้นไม้การตัดสินใจเชิงเส้น, การจัดการพื้นที่สเปซและฟังก์ชัน Mobius, J. Amer คณิตศาสตร์. Soc 7 (1994) หมายเลข 3, 677-706

ในหลอดเลือดดำที่แตกต่างกัน แต่ค่อนข้างสัมพันธ์กัน Smale ใช้โทโพโลยีในลักษณะที่น่าสนใจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งโฮโมโลจี้ของกลุ่มเครือข่ายถักเปีย) เพื่อลดความซับซ้อนของการค้นพบรากในโมเดล Blum-Shub-Smale:

Smale, S. เกี่ยวกับทอพอโลยีของอัลกอริทึม, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987

$2^{\omega}$

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำตอบและทฤษฎีของเดฟ อาร์กิวเมนต์พื้นฐานที่นี่เป็นที่คำนวณขึ้นอยู่โดยเนื้อแท้ในการดำเนินงานในท้องถิ่นและสังเกต จำกัด คุณสามารถนึกถึงความสามารถในการคำนวณเป็นแนวคิดเกี่ยวกับทอพอโลยี ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดคือ:

ฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมด (oracle Turing) นั้นต่อเนื่อง ในทางกลับกันฟังก์ชั่นต่อเนื่องทุกอย่างคือ oracle ทัวริงคำนวณด้วย oracle ที่เหมาะสม

คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมได้จากหนังสือ "การวิเคราะห์เชิงคำนวณ" ของ Klaus Weihrauch คุณอาจต้องการดูหนังสือดี ๆ ของ Steven Vickers ชื่อ "Topology via Logic"

อีกสองเอกสารที่อาจเกี่ยวข้องกับแบบสำรวจของคุณ ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, วิธีการเชิงทอพอโลยีเพื่อการจดจำ, ICALP 2010, ส่วนที่ II, หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. พิน, ความเป็นคู่และทฤษฎีสมการของภาษาปกติ, รางวัลกระดาษดีที่สุดของ ICALP 2008, การติดตาม B, ICALP 2008, ส่วนที่ II, หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257

อย่าลืมการคาดคะเนของ Kneser และหลักฐาน Kahn / Saks / Sturtevant สำหรับการคาดเดาของ Aandera-Rosenberg-Karp

ยังไม่เคยเห็นงานที่กล่าวถึงของRobert Ghristเมื่อก่อนที่ Illinois แต่ตอนนี้ที่ U Penn ใช้ทอพอโลยีกับเครือข่ายเซ็นเซอร์และหุ่นยนต์ นี่คือการสัมภาษณ์ที่ดี

ยังมีมากที่เกี่ยวข้องกับการทำงานของกุนนาร์คาร์ลสัน et al, การประยุกต์ใช้โครงสร้างการวิเคราะห์ข้อมูล

ไม่ใช่ STOC / FOCS TCS บางที แต่เป็นวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แน่นอน

ทฤษฎีที่เข้าใจความพร้อมกันและแบบจำลองการคำนวณแบบพร้อมกันเป็นที่เข้าใจกันดีที่สุดว่าเป็นทอพอโลยี นอกเหนือจากงานที่มีชื่อเสียงโดยเฮอร์ลิฮีและ Shavit เกี่ยวกับโครงสร้างทอพอโลยีของการคำนวณ async กล่าวในการให้ answer- ก่อนหน้านี้เอริค goubault ได้ทำงานเกี่ยวกับการเห็นพ้องด้วยการสร้างแบบจำลองที่มีรูปทรงเรขาคณิตและการทำงานของแพรตต์ในการใช้งานของบุญชูพื้นที่สำหรับการทำงานพร้อมกันในกลุ่มสแตนฟอ Concurrency ยังเป็นที่น่าสนใจ แม้ว่าฉันจะไม่คุ้นเคยกับงานของพวกเขา

งานทั้งหมดเริ่มต้นโดย Kitaev เกี่ยวกับวิธีทอพอโลยีไปยังคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่ยอมรับความผิด ดูกระดาษเดิม Kitaev ของหรือยกตัวอย่างเช่นจอห์นเพรสคิลล์ของเอกสารประกอบการบรรยาย

ยังไม่มีใครพูดถึงพีชคณิตเชิงทอพอโลยีกำกับซึ่งในความเป็นจริงแล้วได้รับการพัฒนาเพื่อให้กล่องเครื่องมือทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาพร้อมกัน

นอกจากนี้ยังมีวิธีทอพอโลยีมิติต่ำหลายหัวข้อในทฤษฎีการคำนวณทั้งหมดใหม่ค่อนข้าง:

• วิธีการต่าง ๆ ในการคำนวณควอนตัม anyonic ทนความผิดพลาดขึ้นอยู่กับทฤษฎีของ braids ดูเช่นที่นี่และที่นี่ นอกจากนี้ยังไปยังเครือข่ายของการคำนวณควอนตัมอะเดียแบติกที่นี่
• รูปแบบการจัดทำตามระเบียบการใช้แผนภาพสำหรับแลมบ์ดาแคลคูลัส (เช่นที่นี่ , หน้า 46-48, และที่นี่ ) และสำหรับปี่แคลคูลัสของมิลเนอร์ (ที่นี่ )
• การใช้การจัดเรียงของสายพันกันสีเพื่อจำลองการเรียกซ้ำและเชนมาร์คอฟ ดูเช่นที่นี่และที่นี่ ในความเป็นจริงมันได้รับการพิสูจน์แล้ว (ไม่ได้เผยแพร่) ว่าการคำนวณของทัวริงและเครือข่ายประสาทลำดับแรกใด ๆ ที่เกิดขึ้นซ้ำสามารถจำลองในลักษณะนี้ได้
• มีหมวดหมู่เชิงทฤษฎีที่สูงขึ้นสำหรับการคำนวณควอนตัมซึ่งไดอะแกรมทอพอโลยีเป็นตัวแทนในการคำนวณและไดอะแกรมทอพอโลยีเทียบเท่ากับการแทนกระบวนการต่าง ๆ ด้วยเนื้อหาการคำนวณที่เหมือนกัน ดูที่นี่

แอพพลิเคชั่นบางอย่างสำหรับงานแต่งงานแบบเมตริก

ตรวจสอบหนังสือเล่มนี้โดย Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

ตรวจสอบเอกสารเหล่านี้ด้วย:

• Bi-Lipschitz ทำการใส่ลงในช่องว่างแบบยุคลิดขนาดเล็ก J. Matousek (1990) (เขาใช้ทฤษฎีบท van Kampen เพื่อพิสูจน์ขอบเขตล่าง)
• ความไม่สามารถอนุมานได้สำหรับงานแต่งงานแบบเมตริกเป็น R ^ d, J. Matousek และ A. Sidiropoulos

อ่านหนังสือเล่มนี้:

ดูหน้าเว็บที่เก็บถาวร

ตรวจสอบหนังสือเล่มนี้ความซับซ้อนในการคำนวณ: มุมมองเชิงปริมาณ มันศึกษาขนาดของคลาสที่ซับซ้อนโดยใช้เครื่องมือทอพอโลยีที่มีขอบเขต จำกัด

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$