ตั้งค่าฝาครอบสำหรับเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

เมื่อได้เซต S ของเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบ nxn (ซึ่งเป็นเพียงส่วนน้อยของเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบ n! เป็นไปได้) เราจะหาเซตย่อยขนาดเล็กที่สุดของ T เช่น S ได้อย่างไรซึ่งการเพิ่มเมทริกซ์ของ T

ฉันสนใจในปัญหานี้ที่ S เป็นกลุ่มย่อยขนาดเล็กของ S_n ฉันสงสัยว่ามันเป็นไปได้ที่จะหา (และใช้!) อัลกอริทึมการประมาณที่เร็วกว่าอัลกอริทึมโลภมาก (รันหลาย ๆ ครั้งจนกว่ามันจะได้ 'โชคดี' ซึ่งเป็นขั้นตอนที่ช้ามาก แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในกรณีเล็ก ๆ ) หรือไม่รับประกันว่าฉันจะไม่สามารถทำได้

ข้อเท็จจริงง่ายๆสองสามข้อเกี่ยวกับปัญหานี้: เมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบความยาวและวงกลมจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้อย่างแน่นอน (อย่างน้อยต้องมีเมทริกซ์เนื่องจากเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแต่ละอันมี n อันและมี n ^ 2 อันที่จำเป็น)

เซต S ที่ฉันสนใจไม่มีกลุ่ม n-cyclic อยู่ในนั้น

ปัญหานี้เป็นกรณีพิเศษของชุดฝาครอบ ที่จริงถ้าเราปล่อยให้ X เป็นเซต (1,2, ... n) * (1,2, ... n) ด้วยองค์ประกอบ n ^ 2 แล้วเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งจะสอดคล้องกับเซตย่อยขนาด n และฉัน กำลังมองหา subcollection ที่เล็กที่สุดของเซตย่อยเหล่านี้ที่ครอบคลุม X. ชุดคลุมตัวเองไม่ใช่วิธีที่ดีในการดูปัญหานี้เนื่องจากการประมาณปัญหาฝาครอบชุดทั่วไป

เหตุผลเดียวที่ว่าทำไมปัญหานี้ไม่ได้ช้ามากนักโดยใช้วิธีการโลภเพราะความสมมาตรในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงช่วยกำจัดความซ้ำซ้อนมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า S เป็นกลุ่มย่อยและ T เป็นเซตย่อยขนาดเล็กซึ่งเป็นชุดการครอบคลุมน้อยที่สุดชุด sT (ทวีคูณ T โดยองค์ประกอบใด ๆ ของกลุ่ม s) ยังคงอยู่ใน S และยังคงเป็นชุดครอบคลุม (แน่นอน ที่มีขนาดเท่ากันก็ยังมีน้อย) ในกรณีที่คุณสงสัยกรณีที่ประสบความสำเร็จคือ n ~ 30 และ | S | ~ 1,000 โดยที่ผลลัพธ์โลภโชคดีมี | T | ~ 37 กรณีที่มี n ~ 50 มีขอบเขตที่แย่มาก ๆ ใช้เวลานานมากในการรับ

เพื่อสรุปฉันสงสัยว่ามีวิธีการประมาณปัญหานี้หรือถ้ามันยังคงเป็นทั่วไปพอที่จะพอดีกับทฤษฎีความไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้บางอย่างเช่นมีปัญหาครอบคลุมชุดทั่วไป อัลกอริทึมใดที่ใช้เพื่อประมาณปัญหาที่เกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ ดูเหมือนว่าอาจมีบางสิ่งที่เป็นไปได้เนื่องจากชุดย่อยมีขนาดเท่ากันทั้งหมดและทุกองค์ประกอบจะปรากฏที่ความถี่ขนาดเล็ก 1 / n เดียวกัน

-B

นี่คือการวิเคราะห์แน่นเกือบ approximability สำหรับกรณีที่Sจะไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มได้ส่วน

ปัญหานี้เป็นกรณีพิเศษของ Set Cover และมีอัลกอริทึมการประมาณแบบโลภอย่างง่าย [Joh74] ถ้าเราแสดงว่าk TH จำนวนฮาร์โมนิเป็นH _k = Σ _{ฉัน = 1} ^k 1 / ฉันขั้นตอนวิธีโลภประสบความสำเร็จในอัตราส่วนประมาณH _n = LN n + Θ (1) (มีอัลกอริทึม [DF97] ซึ่งส่งผลให้อัตราส่วนประมาณดีขึ้นเล็กน้อยH _n −1/2.) ( แก้ไข : การแก้ไข 2 และก่อนหน้านี้ระบุอัตราส่วนการประมาณของอัลกอริทึมโลภแย่กว่าค่าที่ถูกต้อง)

นอกจากนี้สิ่งนี้เกือบจะเหมาะสมที่สุดในแง่ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท การตั้งค่าที่ครอบคลุมสำหรับการเปลี่ยนแปลงการฝึกอบรมไม่สามารถประมาณค่าได้ในอัตราส่วนการประมาณ (1− ε ) ln nสำหรับค่าคงที่ 0 < ε <1 เว้นแต่ NP ⊆ DTIME ( n ^{O (บันทึกล็อกn )} )

นี่คือภาพร่างหลักฐาน เราเขียน [ n ] = {1, …, n } เราจะสร้างการลดจาก Set Cover:

Set Cover
Instance : จำนวนเต็มบวกmและชุดCของชุดย่อยของ [ m ]
วิธีแก้ปัญหา : เซตย่อยDของCซึ่งการรวมกันของเซตในDเท่ากับ [ m ]
วัตถุประสงค์ : ย่อเล็กสุด | D |

มันเป็นผลลัพธ์ที่โด่งดังจาก Feige [Fei98] ที่ Set Cover ไม่สามารถประมาณได้ในอัตราส่วนการประมาณ (1− ε ) ln mสำหรับค่าคงที่ 0 < ε <1 ยกเว้น NP ⊆ DTIME ( n ^{O (log log n )} )

อนุญาต ( m , C ) เป็นตัวอย่างของ Set Cover เราจะสร้างอินสแตนซ์ ( n , S ) ของชุดการปกปิดสำหรับการเปลี่ยนลำดับเมทริกซ์

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤ n (โดยที่ดัชนีi +2 ตีความว่าเป็นโมดูโลn ) สำหรับ0≤ เจ ≤ เมตรกำหนดS _J = { P _E Q ^J : E ∈ C ∪ {{ ม. 1}}} และS = S ₀ ∪∪ ... Sเมตร

ข้อเรียกร้อง ให้kมีขนาดของฝาครอบอย่างน้อยได้ [ M ] ในC จากนั้นขนาดของการครอบคลุมขั้นต่ำในSเท่ากับ ( k +1) ( m +1)

ร่างหลักฐาน หากD ⊆ Cเป็นหน้าปกของ [ M ] เราสามารถสร้างปกเสื้อ ⊆ Sขนาด (| D | +1) ( ม. 1) โดยT = { P _E Q ^J : E ∈ S ∪ {{ เมตร +1}}, 0≤ j ≤ m }

ในอีกทางหนึ่งขอให้T ⊆ Sเป็นปก โปรดสังเกตว่าเมทริกซ์ทั้งหมดในS ₀เป็นบล็อกแนวทแยงมุมที่มีบล็อกขนาด 2 × 2 และเมทริกซ์อื่น ๆ ในSมี 0 ในบล็อกเหล่านี้ ดังนั้นT ∩ S _{0 จึง}ครอบคลุมบล็อกเหล่านี้ ยิ่งไปกว่านั้นT ∩ S ₀มีP _{{ m +1}}เนื่องจากมิฉะนั้นจะไม่ได้รับการคุ้มครอง(2 m +1, 2 m +2) - สังเกตว่า ( T ∩ S ₀ ) ∖ { P _{{ m +1}}} สอดคล้องกับฝาครอบชุดC ดังนั้น | T ∩ S ₀ | ≥ k +1 ในทำนองเดียวกันสำหรับ0≤ j ≤ m , | T ∩ S _j | ≥ k +1 ดังนั้น | T | ≥ ( k +1) ( m +1) ในตอนท้ายของร่างหลักฐานการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน

ตามการอ้างสิทธิ์การลดที่สร้างขึ้นข้างต้นจะรักษาอัตราส่วนการประมาณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันกำหนดทฤษฎีบท

อ้างอิง

[DF97] Rong-Chii Duh และ Martin Fürer การประมาณของk -set cover โดยการออปติไมซ์แบบโลคอล ในการดำเนินการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีครั้งที่ยี่สิบเก้าในทฤษฎีการคำนวณ (STOC) , หน้า 256–264, พฤษภาคม 1997. http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] Uriel Feige ขีด จำกัด ของ ln nสำหรับการประมาณค่าฝาครอบชุด วารสาร ACM , 45 (4): 634–652, กรกฎาคม 1998 http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[Joh74] David S. Johnson อัลกอริทึมโดยประมาณสำหรับปัญหา combinatorial วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ 9 (3): 256–278, ธันวาคม 1974 http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

ในมื้อกลางวันที่บรัสเซลส์เราได้พิสูจน์ว่าปัญหานี้เกิดจาก NP-Hard โดยลดลงเล็กน้อยจาก 3SAT หลักฐานของเราไม่ได้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้ (ยัง) เราจะคิดเพิ่มเติมเกี่ยวกับมัน

โดยประมาณคุณแปลงอินสแตนซ์ 3-SAT (ที่มีตัวแปร n และอนุประโยค c) เป็นชุดของการเรียงลำดับที่มีโครงสร้างดังนี้:

1 ... n สำหรับการกำหนดหมายเลขตัวแปร n + 1 ที่ใช้โดยแกดเจ็ตตัวแปร n + 2, n + 3 หมายถึงส่วนที่ 1 ... n + 2j, n + 2j + 1 แสดงถึงส่วนคำสั่ง jth n + 2c + 2 ใช้โดยตัวเก็บขยะ

ตัวแปร xi แสดงโดยการเปลี่ยนแปลง 1, ... , i-1, n + 1, i + 1, ... , n, i, ... และการแลกเปลี่ยน n + 2j + 1, n + 2j สำหรับทุกประโยค ที่ j ที่ xi ปรากฏ; และการเรียงสับเปลี่ยน 1, ... , i-1, n + 1, i + 1, ... , n, i, ... และแลกเปลี่ยน n + 2j + 1, n + 2j สำหรับทุกประโยคที่ j อยู่ที่ไหน - จินปรากฏขึ้น

จากนั้นเราใช้ตัวรวบรวมขยะเพื่อวางแต่ละหมายเลขในตำแหน่งที่ไม่สามารถปรากฏเป็นอย่างอื่นได้ เมื่อต้องการวาง x ในตำแหน่ง y เราวาง y ในตำแหน่ง n + 2c + 2 และ n + 2c + 2 ในตำแหน่ง x เราจะมีตัวรวบรวมขยะอย่างแน่นอน n + 2c-1 สำหรับแต่ละตัวแปรและ 2 (n + 2c-1) สำหรับแต่ละข้อ 3SAT นั้นเป็นที่น่าพอใจหากเราสามารถเลือกหนึ่งใน 2 การเปลี่ยนลำดับสำหรับแต่ละตัวแปร iff หากชุดการเปลี่ยนรูปมีการแก้ปัญหาของขนาด n + (n + 2c-1) (n + 2c)

อาจมีรายละเอียดเล็กน้อยหายไปสำหรับอินสแตนซ์ขนาดเล็ก

สเตฟาน