การโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มในจำนวนตัวแปรลอการิทึม

ผมอ่านจำนวนเต็มเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีการแก้ไขในเวลาที่ polynominal ถ้าจำนวนของตัวแปรได้รับการแก้ไขคือ(1) ถ้าจำนวนของตัวแปรเพิ่มขึ้นลอการิทึมเช่นสำหรับอินพุตที่กำหนดขนาดปัญหายังคงแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือนี่เป็นปัญหาเปิดหรือไม่ $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
แหล่งที่มา

คุณไม่สามารถเพิ่มข้อ จำกัด ที่เป็นความจริงเล็กน้อยเพื่อเพิ่มขนาดของอินพุตได้หรือไม่

— joro

ทำไมคุณต้องการเพิ่มขนาดของอินพุต

— user3613886

ในการทำให้อินพุตมีขนาดใหญ่ดังนั้นจำนวนของตัวแปรจึงเป็นลอการิทึมและเหมาะกับคำถามของคุณ

— joro

แต่ในคำถามเราคิดไปแล้วว่าตัวแปรนั้นเป็นลอการิทึมเมื่อเทียบกับขนาดอินพุต

— user3613886

ฉันคิดเกี่ยวกับการสร้างอินสแตนซ์ทั้งหมดเป็นของคุณ แต่สิ่งนี้อาจเพิ่มการป้อนข้อมูลแบบชี้แจงแทน

— joro

ฉันสามารถให้คำตอบเพียงบางส่วนสำหรับคำถามนี้

ผลลัพธ์จาก Lenstra (ปรับปรุงในภายหลังโดย Kannan และ Frank และ Tardos) ระบุว่า ILP ที่มีตัวแปร $k$ สามารถแก้ไขได้ในเวลา $k^{O(k)}$ ( คูณพหุนามในขนาดของ ILP) ดังนั้น ILP อยู่ใน P เมื่อจำนวนของตัวแปรคือn) ฉันไม่แน่ใจว่ารู้จักอัลกอริทึมหรืออัลกอริทึมดังกล่าวจะขัดแย้งกับ ETH หรือไม่ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

ฉันพบข้อมูลนี้ในวิทยานิพนธ์ของ Daniel Lokshtanov นี่คือการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง

HW Lenstra การเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มพร้อมตัวแปรจำนวนคงที่ คณิตศาสตร์ของการวิจัยการดำเนินงาน, 8: 538–548, 1983
ร. กันนัน ทฤษฎีร่างกายนูนของ Minkowski และการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม คณิตศาสตร์ของการวิจัยการดำเนินงาน, 12: 415–440, 1987
Andras Frank และ Eva Tardos การประยุกต์ใช้การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์พร้อมกันในการหาค่าเหมาะที่สุดเชิง combinatorial Combinatorica, 7: 49–65, 1987

— Michael Lampis
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณจะต้องใช้อัลกอริทึม O (k ^ p) สำหรับ p คงที่เนื่องจากแม้แต่อัลกอริธึมที่มี 2 ^ O (k) จะเป็นเลขชี้กำลัง?

— user3613886

ขออภัยฉันใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างจากคำถาม โดย

ผมหมายถึงจำนวนของตัวแปรและ

คือขนาดของการป้อนข้อมูลเพื่อให้

อัลกอริทึมจะเป็นพหุนามเวลาถ้า

)

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Michael Lampis

แต่สมมติว่าคุณมีเพียงตัวแปรไบนารี่เท่านั้นจะไม่มีแรงเดรัจฉาน

2^{k}

$2^k$

— 3613886

แน่นอน @ user3613886 แต่นั่นเป็นปัญหา / คำถามอื่น เราไม่ได้สัญญากับคำถามที่ว่าตัวแปรเป็นเลขฐานสอง

— DW

— joro