ความซับซ้อนของปัญหาเส้นทางนี้เป็นที่รู้จักหรือไม่?

เช่น:ไม่มีทิศทางกราฟมีสองจุดโดดเด่นและจำนวนเต็ม0 $G$ $s\neq t$ $k\geq 0$

คำถาม:มีเส้นทางในหรือไม่ดังนั้นเส้นทางตัดกับรูปสามเหลี่ยมส่วนใหญ่หรือไม่? (สำหรับปัญหานี้มีการกล่าวถึงพา ธ เพื่อตัดรูปสามเหลี่ยมถ้าเส้นทางนั้นมีอย่างน้อยหนึ่งขอบจากรูปสามเหลี่ยม) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-algorithms

— Andras Farago
แหล่งที่มา

มันผิดหรือเปล่า? เรากำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละขอบแล้วหาเส้นทางที่สั้นที่สุด น้ำหนักของแต่ละขอบคือจำนวนสามเหลี่ยมซึ่งรวมถึงขอบนั้น น้ำหนักของเส้นทางนี้ไม่เท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมที่พบ แต่มันเป็นเส้นทางเซนต์ที่มีสามเหลี่ยมน้อยที่สุด (ปัญหาที่เป็นไปได้คือเราอาจนับหนึ่งสามเหลี่ยมขึ้นไปสองครั้งเพราะเราไปที่ขอบสองข้างของสามเหลี่ยมนั้น แต่เหตุผลที่เราเลือกพวกมันคือพวกมันมีขนาดเล็กกว่าที่จะผ่านขอบอื่น ๆ ของสามเหลี่ยมและเรามีเส้นทางที่เรียบง่าย ขอบของสามเหลี่ยมสองอันอยู่ติดกัน)

— Saeed

@Seed ฉันไม่เข้าใจ: อะไรคือเหตุผลที่ overcounting ไม่ทำให้คุณเลือกเส้นทางที่ไม่ดี? อัลกอริทึมของคุณเป็นแบบประมาณ 2 ครั้ง บางทีการแก้ไขคือการเพิ่มขอบสำหรับทุกเส้นทางด้วยน้ำหนักเท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมที่มีทั้งและ

(u, w)

$(u, w)$

u \to v \to w

$u\to v \to w$

(u, v)

$(u,v)$

(v, w)

$(v,w)$

— Sasho Nikolov

ใช่เราอาจไปจาก u ถึง v แล้วเราเลือก x (โหนดอื่นที่ไม่ใช่ในสามเหลี่ยม uvw) จากนั้นเราไปที่ w ซึ่งผิด (ความผิดพลาดของฉันคือฉันพลาดระหว่างจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่ในสามเหลี่ยม uvw) แต่ด้วยการแก้ไขของคุณมันถูกต้องเพราะสำหรับทุกเส้นทางที่มี triangles ในกราฟต้นฉบับจะมีเส้นทางของน้ำหนักในกราฟเสริม นอกจากนี้น้ำหนักของเส้นทางในกราฟใหม่อย่างน้อยก็เท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมในเส้นทางที่สอดคล้องกันในกราฟต้นฉบับ

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Saeed

ฉันให้ความคิดเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้แม้ว่าจะแก้ไขไม่ได้ ขออภัย Andras ถ้าฉันนำความหวังที่ผิด เพื่อดูว่าทำไมการแก้ไขผิดพิจารณาจุดยอดในเส้นทางและเรามีรูปสามเหลี่ยมและและสมมติว่าขอบและเป็นสามเหลี่ยมมากเกินไป . ถ้าเราใช้ขอบใหม่ที่ประดิษฐ์ขึ้นมาซึ่งเชื่อมต่อเราจะนับสามเหลี่ยมสองครั้ง PS: เหตุผลของฉันอีกครั้งผิดเพราะฉันคิดว่าเราแค่แทนที่และด้วย new (multi) edge

u - > v - > w - > x

$u->v->w->x$

P

$P$

u, v, w

$u,v,w$

v, w, x

$v,w,x$

v x

$vx$

u w

$uw$

u - > w

$u->w$

v, w, x

$v,w,x$

u - > v

$u->v$

v - > w

$v->w$

u - > w

$u->w$ . หากเราเพิ่มขอบเทียมเหล่านั้นสำหรับทุกเส้นทางมันจะทำงานได้เล็กน้อย ดูเหมือนว่าเป็น NPC

— Saeed

ความคิดของฉันไม่ทำงาน - ฉันต้องบำรุงรักษาหลายชุดและฉันคิดว่าจะมีมากเกินไป

— reinierpost

สมมติว่าไม่มีขอบตนเองในG $G$

สำหรับแต่ละขอบระหว่างโหนดและในให้และหากไม่มีขอบ คำนวณเมทริกซ์ซึ่งให้จำนวนเส้นทางสองฮอประหว่างแต่ละคู่ของ โหนดและv_jจากนั้นเพื่อหาขอบระหว่างและในคำนวณมิฉะนั้นให้ตั้งซึ่งจะให้จำนวนสามเหลี่ยมของ edge เป็นส่วนหนึ่งของ (หรือไม่มีที่สิ้นสุดหากไม่มี edge) การคูณเมทริกซ์จำเป็นต้องใช้ในการคำนวณ $v_i$ $v_j$ $G$ $E[i,j]=1$ $E[i,j]=0$ $n\times n$ $C[i,j]=\sum_{k=1}^n E[i,k]\cdot E[k,j]$ $v_i$ $v_j$ $v_i$ $v_j$ $G$ $D[i,j]=E[i,j]\cdot C[i,j]$ $D[i,j]=\infty$ $C$ ค่าใช้จ่าย (สามารถคำนวณได้เร็วขึ้นขึ้นอยู่กับ sparsity ของ ) $O(n^3)$ $G$

ตอนนี้คำนวณเมทริกซ์ , เช่นนั้น])) คือเส้นทางที่สั้นที่สุดในความยาวมากถึงสองส่วนเพื่อรองรับเส้นทางที่ไปตามขอบทั้งสองของสามเหลี่ยม $n\times n$ $A$ $A[i,j]=\min(D[i,j],\min_k(D[i,k]+D[k,j]-E[i,j]))$ $A$ $D$

ตอนนี้เพียงคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างและในบนกราฟใหม่ที่คือเมทริกซ์ adjacency (ถ่วงน้ำหนัก) โดยใช้ Dijkstra (เนื่องจากน้ำหนักขอบทั้งหมดเป็นบวก) และพิจารณาว่า , โดยที่เป็นการปิดเหนือ semiring เขตร้อน (ซึ่งให้เมทริกซ์ระยะทาง) $v_i$ $v_j$ $G$ $A$ $A^*[i,j]\leq k$ $A^*$

— เอ็ดการ์
แหล่งที่มา