เกาส์เซียนอิสระคู่

ให้ (iid gaussians ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ) มันเป็นไปได้ (อย่างไร?) ในการสุ่มตัวอย่าง (สำหรับ )ซึ่ง นั้นเป็น gaussians คู่อิสระ มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน1$X_1,\ldots,X_k$$0$$1$$m=k^2$$Y_1, \ldots, Y_m$$Y_i$$0$$1$

การโพสต์บน MathOverflow จะบอกวิธีการเปลี่ยนจากตัวแปรสุ่มเครื่องแบบอิสระ [0,1] จำนวนน้อยไปเป็นชุดตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนคู่ [0,1] แน่นอนว่าคุณสามารถกลับไปกลับมาระหว่าง Uniform [0,1] และ Gaussian โดยการคว่ำ CDF แต่นั่นต้องมีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเนื่องจาก CDF ไม่ได้เป็นแบบปิด

อย่างไรก็ตามมีวิธีที่ง่ายกว่าในการเปลี่ยนจาก Gaussian เป็นเครื่องแบบ ได้รับสองอิสระ Gaussiansมุม เป็นชุดในช่วงปี่] arctan ( X 1 / X 2 ) [ 0 , 2 π $X_1, X_2$$\arctan(X_1/X_2)$$[0,2 \pi]$

ในทำนองเดียวกันวิธี Box-Muller แปลงสองตัวแปร Uniform [0,1] อิสระเป็นสองตัวแปรสุ่มแบบเกาส์อิสระ

เมื่อใช้การแปลงสองแบบนี้คุณจะใช้ Gaussians สองคนเพื่อสร้างเครื่องแบบหรือสองชุดเพื่อผลิต Gaussian ดังนั้นจึงมีเพียงปัจจัยของในการสุ่มตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ นอกจากนี้ไม่จำเป็นต้องมีการผกผันของ cdf ปกติ$O(1)$

การก่อสร้างนี้ไม่ได้ให้ตัวแปรอิสระแบบคู่กัน (แน่นอนด้านล่าง) ตามที่ถามโดย Anindya แต่มันให้ตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกับคู่ซึ่งเพียงพอสำหรับการรับความเข้มข้นที่ดี สำหรับผลรวมผ่านความไม่เท่าเทียมของ Chebyshev (และนี่คือเป้าหมายสุดท้ายหลายเท่า)$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

สำหรับแต่ละคู่ที่แตกต่างกัน , ให้โดยที่เป็นฟังก์ชันสัญญาณ เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละตัวเป็นตัวแปรปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 หากต้องการดูว่าพวกมันเป็นมุมฉากสำหรับให้สังเกตว่า ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายเท่ากับ 0 โดยดูที่กรณีต่างๆของ equalities เป็นไปได้ระหว่างJ'$(i,j) \in {[k] \choose 2}$$Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$$\sigma(\cdot)$$Y_{i,j}$$(i,j) \neq (i',j')$

PS: รุ่นก่อนหน้าอ้างความเป็นอิสระแบบคู่ขนานเท็จ