ผลที่ตามมาจากการคำนวณของ Friedman's (ไม่สามารถพิสูจน์ได้) ทฤษฎีบท Shift จุดคงที่บน?

ฮาร์วีย์ฟรีดแมนแสดงให้เห็นว่ามีผลคะแนนคงที่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC (ตามปกติทฤษฎีเซตเซอร์เมโล - แฟรงเคิลกับสัจพจน์ของทางเลือก) Logics ที่ทันสมัยจำนวนมากถูกสร้างขึ้นจากตัวดำเนินการจุดคงที่ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่า: มีผลกระทบอะไรบ้างที่รู้จักทฤษฎีบท Shift Shift Point Point ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีหรือไม่?

ทฤษฎีบทจุดเปลี่ยนกะบนไม่สามารถพิสูจน์ได้
สำหรับทั้งหมดประกอบด้วย(A)$R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$$\text{us}(A)$

ทฤษฎีบท USFP ดูเหมือนจะเป็นคำสั่งดังนั้นจึงอาจเป็น "ใกล้เพียงพอ" ต่อการคำนวณ (เช่นการตรวจสอบโครงสร้างที่ไม่เป็นมอร์ฟิซึ่มส์ของโครงสร้างอัตโนมัติ) เพื่อให้กระทบกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี$\Pi^1_1$

เพื่อความสมบูรณ์นี่คือคำจำกัดความจากการพูดคุยของ MIT เกี่ยวกับฟรีดแมนตั้งแต่เดือนพฤศจิกายน 2552 (ดูหนังสือร่างเรื่อง "ทฤษฎีความสัมพันธ์แบบบูล" )

x , y ∈ Q k 1 ≤ i , j ≤ k x i < x j ⇔ y i < y j x ∈ Q k x เรา( x ) x A ⊆ Q $Q$คือชุดของจำนวนตรรกยะ เป็นเทียบเท่าการสั่งซื้อถ้าเมื่อใดก็ตามที่แล้วy_j เมื่อแล้วกะบนของชี้แนะ , จะได้รับโดยการเพิ่ม 1 ถึงทุกที่ไม่ใช่เชิงลบพิกัดของxความสัมพันธ์คือการสั่งซื้อคงที่ถ้าทุกคำสั่งคงที่เทียบเท่าก็ถือได้ว่าA ความสัมพันธ์$x, y \in Q^k$$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$$A \subseteq Q^k$ x ∈ A ⇔ y ∈ A R ⊆ Q k × Q $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$คือคำสั่งคงที่ถ้าคือค่าคงที่ของเซตย่อยของและมีอำนาจเหนือกว่าถ้าทั้งหมดเมื่อใดก็ตามที่แล้ว(y) ยิ่งกว่านั้นถ้าAเป็นเซตย่อยของQ ^ kดังนั้นR [A]หมายถึง\ {y | \ มีอยู่ x \ ใน AR (x, y) \} , การเลื่อนบนของAคือ\ text {us} (A) = \ {\ text {us} (x) | x \ in A \}และ\ ข้อความ {} ก้อน (A, 0)หมายถึงอย่างน้อยB ^ kดังกล่าวที่0 \ in Bและมีอยู่ในB ^ k ปล่อยQ 2 $R$$Q^{2k}$$x,y \in Q^k$$R(x,y)$$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$$A$$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$$\text{cube}(A,0)$$B^k$$0 \in B$$A$$B^k$$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$แสดงว่าชุดของทั้งหมดที่มีอำนาจเหนือความสัมพันธ์อย่างเคร่งครัดเพื่อคง$R \subseteq Q^k \times Q^k$ k

แก้ไข:เมื่อDömötörPálvölgyiชี้ให้เห็นในความคิดเห็นการใช้และเป็นลำดับปกติบน rationals ดูเหมือนจะให้ผลตอบโต้ตัวอย่าง อย่างแรกชุดเซตต้องไม่ว่างเปล่าเนื่องจากว่างเปล่าแล้วและก็จะต้องมี 0 ตามเงื่อนไขคิวบ์ซึ่งเป็นความขัดแย้ง หากชุดที่ไม่ว่างมีค่าต่ำสุดจะไม่สามารถมีการปันส่วนได้มากกว่านี้ดังนั้นจึงต้องเป็นซิงเกิลตันซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขการเลื่อนด้านบน หากในทางกลับกันไม่มีค่าต่ำสุดดังนั้นดังนั้นต้องว่างเปล่าความขัดแย้ง $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$$A$ความคิดเห็นใด ๆ เกี่ยวกับว่ามีปัญหาที่ไม่ชัดเจนที่ซ่อนอยู่อย่างชัดเจนหรือไม่เช่นบางทีรูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐานโดยนัยของการปันส่วน?

การแก้ไขเพิ่มเติม:อาร์กิวเมนต์ด้านบนนั้นถูกต้องคร่าวๆ แต่เป็นความผิดพลาดในแอปพลิเคชันของการเลื่อนด้านบน ตัวดำเนินการนี้ใช้กับพิกัดที่ไม่เป็นลบเท่านั้นดังนั้นการตั้งค่าให้เป็นชุดซิงเกิลเชิงลบใด ๆ ให้ผลเป็นจุดคงที่ตามที่ต้องการ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าดังนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาและไม่มีวิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ$A$$m < 0$$A = \{m\}$

ฉันไม่รู้ถึงผลกระทบใด ๆ ของทฤษฎีบทนี้ แต่การพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานของแลมบ์ดาแคลคูลัสเหมือนกับแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างแบบอุปนัยต้องอาศัยสัจพจน์ขนาดใหญ่ - แม้ว่าชุดแลมบ์ดาจะนับได้เท่าที่คุณต้องการ

ฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดที่จะเข้าใจความสำคัญของการคำนวณของสัจพจน์ทฤษฎีเซตที่ยืนยันว่าการมีอยู่ของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่คือการคิดว่าทฤษฎีเซตเป็นวิธีในการใช้ถ้อยคำทฤษฎีกราฟ นั่นคือรูปแบบของชุดคือชุดขององค์ประกอบที่มีความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ใช้ในการตีความการเป็นสมาชิก จากนั้นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตจะบอกคุณสมบัติของความสัมพันธ์สมาชิกรวมถึงวิธีที่คุณสามารถสร้างชุดใหม่จากเก่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งความจริงของมูลนิธิหมายความว่าความสัมพันธ์ของสมาชิกนั้นดีขึ้น (กล่าวคือมันไม่มีเครือข่ายที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ความเป็นผู้ก่อตั้งที่ดีนี้หมายความว่าหากคุณสามารถจัดเรียงสถานะการดำเนินการของโปรแกรมที่มีสมาชิกสกรรมกริยาขององค์ประกอบของชุดได้แสดงว่าคุณมีหลักฐานการยกเลิก

ดังนั้นการยืนยันว่าชุด "ใหญ่" มีอยู่แล้วจึงมีการจ่ายผลตอบแทนการคำนวณเป็นข้ออ้างว่ามีบางระดับของลูปในภาษาการเขียนโปรแกรมแบบเรียกซ้ำโดยทั่วไปยุติลง การตีความนี้ทำงานอย่างเท่าเทียมกันตลอดทางจากสัจพจน์เก่าแก่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการวนซ้ำตามธรรมชาติ) ไปจนถึงสัจพจน์ขนาดใหญ่

สัจพจน์เหล่านี้เป็นจริงหรือไม่? ดีถ้าสัจพจน์เป็นเท็จคุณสามารถค้นหาโปรแกรมในหนึ่งในคลาสเหล่านี้ซึ่งไม่สิ้นสุด แต่ถ้ามันเป็นเรื่องจริงเราจะไม่มีวันแน่ใจขอบคุณทฤษฎีบท Halting ทุกอย่างจากการเหนี่ยวนำจำนวนธรรมชาติเป็นเรื่องของการเหนี่ยวนำทางวิทยาศาสตร์ซึ่งอาจจะปลอมแปลงโดยการทดลอง - เอ็ดเวิร์ดเนลสันมีความหวังที่มีชื่อเสียงที่จะพิสูจน์การยกกำลังเป็นฟังก์ชั่นบางส่วน!