ความซับซ้อนของการตรวจสอบว่า CNF สองแห่งมีจำนวนโซลูชั่นเท่ากันหรือไม่

ให้ CNF สองรายการหากพวกเขามีจำนวนที่ได้รับมอบหมายเท่ากันเพื่อทำให้เป็นจริงให้ตอบว่า "ใช่" มิฉะนั้นตอบว่า "ไม่"

มันง่ายที่จะเห็นว่ามันอยู่ในเนื่องจากถ้าเรารู้จำนวนที่แน่นอนของ CNF ทั้งสองนี้เราก็แค่แค้มพวกเขาและตอบว่า "ใช่" หรือ "ไม่" $P^{\#P}$

ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— ไมค์เฉิน
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ปัญหาคือcoNP -hard; คุณสามารถลดปัญหา UNSAT ลงในปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย

ลักษณะที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือปัญหาคือC ₌ P-สมบูรณ์ ในความเป็นจริงหนึ่งคำจำกัดความของคลาส C ₌ P คือมันเป็นปัญหาที่เป็นพหุนามเวลาหลายคนหนึ่งที่สามารถลดปัญหานี้มาก (ปกติคำจำกัดความนี้จะระบุไว้ในแง่ของฟังก์ชั่นGapP ) แต่เนื่องจากสิ่งนี้ไม่ได้บอกอะไรมากมายผมขอนิยามคลาสนี้ด้วยวิธีอื่น

ปล่อยให้ C ₌ P เป็นคลาสของปัญหาซึ่งเป็นพหุนามเวลาหลาย ๆ ค่าที่ลดลงสำหรับปัญหาต่อไปนี้: กำหนดบูลีนวงจรφและจำนวนเต็มK (ในระบบเลขฐานสอง) ตัดสินใจว่าจำนวนความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายของφเท่ากับK . โดยการลดมาตรฐานซึ่งแสดง # P- ความสมบูรณ์ของ # 3SAT เราสามารถ จำกัดφให้เป็นสูตร 3CNF โดยไม่ส่งผลกระทบต่อชั้นเรียน คลาส C ₌ P มีคลาสที่เรียกว่าUSซึ่งมีทั้งUPและ coNP

ด้วยคำจำกัดความนี้ปัญหาของคุณคือ C ₌ P-complete ที่จริงแล้ว C ₌ P-hardness นั้นดูได้ง่ายจากคำนิยามของ class C ₌ P (ซึ่งใช้สูตร 3CNF)

ในการพิสูจน์ความเป็นสมาชิกใน C ₌ P สมมติว่าเราต้องตัดสินใจว่าสองสูตร CNF ที่กำหนดφ ₁และ φ ₂มีจำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจเท่ากันหรือไม่ โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราสามารถสรุปได้ว่าทั้งสองสูตรมีหมายเลขเดียวกันของตัวแปรพูดn สร้างวงจรบูลีนφซึ่งใช้n +1 บิตเป็นอินพุตเพื่อให้จำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจของφเท่ากับc ₁ + (2 ⁿ - c ₂ ) โดยที่c ₁และc ₂เป็นตัวเลขของการมอบหมายที่น่าพอใจของφ ₁และφ ₂ 2ตามลำดับ จากนั้นจำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจของφเท่ากับ 2 ⁿถ้าหากว่าc ₁ = c

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

@Kaveh: คุณสามารถทำอย่างละเอียด?

— Tsuyoshi Ito

@Kaveh: ไม่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการ เราต้องการตัดสินใจว่าφ_1และφ_2มีจำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจเท่ากันหรือไม่และไม่จำเป็นต้องเป็นชุดเดียวกันของการมอบหมายที่น่าพอใจ

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: ตามนิยามของ

GI ใน

อย่างไร ผมคิดว่าอย่างน้อย GI

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— ไมค์เฉิน

@ ไมค์: ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นที่น่าสนใจ คุณกำลังพูดถึงผลของกราฟ Isomorphism ∈ SPP (Arvind และ Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณพูดถูก เอสพีพีที่มีอยู่ใน

ดังนั้นกราฟมอร์ฟ∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

@ ไมค์: ผมได้เรียนรู้ว่าก่อนที่ผลGraphIso∈SPPมันเป็นที่รู้จักกันว่า GraphIso ∈ LWPP : Kobler, Schöningและ Toran 1992 ตั้งแต่ LWPP ⊆ WPP ⊆

เราไม่ได้ต้องการผลที่แข็งแกร่งโดย Arvind และ Kurur จะบอกว่าGraphIso∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

นี่คือรูปแบบเล็ก ๆ ของคำถามเดิม ให้เป็น oracle ซึ่งบนอินพุตเอาต์พุต 1 หาก CNF $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ มีมากขึ้นการแก้ปัญหามากกว่า CNF $f_2$ 2

ได้รับ oracle นี้เราสร้างเครื่องโพลีเวลาซึ่งสามารถแก้ปัญหา P-สมบูรณ์ # จากการคำนวณจำนวนของการแก้ปัญหาให้กับ CNF รับφโปรดทราบว่า $M$ $\varphi$ $\varphi$ สามารถมีวิธีแก้ปัญหาแบบเลขชี้กำลัง

ทำงานได้ดังต่อไปนี้: มันสร้างสูตรที่มีวิธีแก้ปัญหาที่ทราบจำนวนมากและใช้การค้นหาแบบไบนารี่และโดยการสอบถามที่แบบสอบถามพหุนามส่วนใหญ่ถึงจะพบสูตร $M$ $O$ ซึ่งมีเดียวกันจำนวนของการแก้ปัญหาเป็น $\varphi_i$ $\varphi$ φในที่สุดมันก็แสดงจำนวนโซลูชั่นที่เพิ่งค้นพบ

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า มีความซับซ้อน #P $M^O$

— MS Dousti
แหล่งที่มา

ยกโทษให้ความไม่รู้ของฉัน แต่คุณจะสร้างสูตรด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้ล่วงหน้าได้อย่างไร

— Giorgio Camerani

Let M เป็น (k + 1) จำนวนบิต

และให้

เป็นดัชนี

ที่

ทำให้สูตรกับตัวแปร

และ

สำหรับ

แต่ละตัวให้

เป็นฟอร์มย่อยต่อไปนี้: "ทั้งหมดของ

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

เป็นจริงและในหมู่

มีเพียง

เท่านั้นที่เป็นจริง "

มี

พอใจการมอบหมายงาน (ตัวแปร

เป็นอิสระ ) และสำหรับ

การมอบหมายที่น่าพอใจของ

และ

นั้นไม่รวมกันเนื่องจาก

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ ตัวแปร สูตร

มี

ได้รับมอบหมายพอใจ

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— mikero

โปรดทราบว่ามันเป็น PP-complete ในการตัดสินใจว่าเนื่องจากสองสูตร CNF f_1 และ f_2, f_1 มีการมอบหมายที่น่าพอใจมากกว่า f_2 หรือไม่

— Tsuyoshi Ito

@mikero: อ่าโง่ฉัน! ฉันควรจะจินตนาการว่า ขอบคุณสำหรับคำอธิบายที่ให้ความกระจ่าง

— Giorgio Camerani

ดูเหมือนว่า atleast NP-hard เป็นหนึ่งสามารถสร้างสูตร SAT ได้อย่างง่ายดายด้วยโซลูชันเดียว จากนั้นตามทฤษฎีของ Valiant-Vazirani จะมีการลดความน่าจะเป็นจากสูตร SAT ทุกชุดเป็นชุดของปัญหาเฉพาะ SAT ช่วยให้คุณกำหนดความพึงพอใจของสูตร SAT ภายใต้การพิจารณา

— เลือก
แหล่งที่มา

เพื่อความแม่นยำประโยคแรกควรพูดถึง "ภายใต้ reducibility สุ่ม" (แม้ว่าคุณจะพูดถึงมันในประโยคที่สอง)

— Tsuyoshi Ito