ทำไมมาร์ติน - โลฟจึงจำเป็นต้องสร้างทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณ?

ฉันได้อ่านเกี่ยวกับ Intuitionistic Type Theory (ITT) แล้วและมันก็สมเหตุสมผลดี แต่สิ่งที่ฉันดิ้นรนเพื่อทำความเข้าใจคือ "ทำไม" มันถูกสร้างขึ้นตั้งแต่แรก?

Intuitionistic Logic (IL) และ Simply-typed -calculus (STLC) และทฤษฎีประเภทโดยทั่วไปถือกำเนิดมาร์ติน - ล็อฟเอง! ดูเหมือนว่าเราสามารถทำทุกอย่างใน STLC ที่เป็นไปได้ใน ITT (ฉันอาจจะผิด แต่อย่างน้อยก็รู้สึกอย่างนั้น) $\lambda$

ดังนั้น "นวนิยาย" เกี่ยวกับ ITT คืออะไรและมันได้พัฒนาทฤษฎีการคำนวณอย่างไร? จากสิ่งที่ฉันเข้าใจเขาแนะนำแนวคิด "ประเภทพึ่งพา" แต่ดูเหมือนว่าพวกเขามีอยู่แล้วใน STLC ในทางใดทางหนึ่ง ITT ของเขาเป็นความพยายามที่เป็นนามธรรมหรือไม่ที่จะเข้าใจหลักการพื้นฐานของ STLC และ IL ด้วยกันไหม แต่ STLC ไม่ได้ทำเช่นนั้นใช่ไหม ดังนั้นทำไม ITT จึงถูกสร้างขึ้นตั้งแต่แรก? ประเด็นคืออะไร?

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากWikipedia : แต่ฉันก็ยังไม่ได้รับเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังการสร้างที่ไม่เคยมีมาก่อน

บทความร่างแรกของ Martin-Löfเกี่ยวกับทฤษฎีการพิมพ์วันที่ย้อนกลับไปในปี 1971 ทฤษฎีที่น่าสงสัยนี้ทำให้ระบบของ Girard F. อย่างไรก็ตามระบบนี้กลับกลายเป็นว่าไม่สอดคล้องกันเนื่องจากความขัดแย้งของ Girard ซึ่งถูกค้นพบโดย Girard เมื่อศึกษาระบบ F. ประสบการณ์นี้นำพา Per Martin-Löfเพื่อพัฒนารากฐานทางปรัชญาของทฤษฎีการพิมพ์, การอธิบายความหมายของเขา, รูปแบบของการพิสูจน์ความหมายเชิงทฤษฎี, ซึ่งแสดงให้เห็นถึงทฤษฎีประเภทภาคปฏิบัติตามที่ปรากฏในหนังสือของเขา 1984 Bibliopolis ...

ดูเหมือนจะมาจากข้อความที่ตัดตอนมาว่าเหตุผลคือการพัฒนา " รากฐานทางปรัชญาของทฤษฎีประเภท " - ฉันคิดว่ารากฐานนี้มีอยู่แล้ว (หรือบางทีฉันคิดว่ามันเป็น) นี่เป็นเหตุผลหลักหรือ?

$\lambda$

• การใช้กฎของ Leibniz เกี่ยวกับตัวตนของผู้ไม่สมควรที่จะเข้ารหัสความเท่าเทียมกันเชิงประพจน์ วิธีการนี้ใช้ในแคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง แต่มันต้องการเอกภพที่ไม่มีสติปัญญาซึ่งถูกปฏิเสธโดย Martin-Löfด้วยเหตุผลทางปรัชญา

• การกำหนดลักษณะเชิงสร้างสรรค์โดยตรงของความเท่าเทียมกัน การให้ลักษณะเช่นนี้โดยใช้ประเภทตัวตนอาจเป็นความแปลกใหม่ที่สำคัญของทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณของ Martin-Löf

ประเภทอัตลักษณ์นั้นดูเรียบง่ายอย่างหลอกลวงวันนี้ แต่พวกเขาได้ทบทวนความเข้าใจในทฤษฎีประเภทอีกส่วนหนึ่งเพราะพวกเขาก่อให้เกิดคำถามเชิงความหมายที่น่าสนใจเช่น: การพิสูจน์ตัวตนเป็นเอกลักษณ์หรือไม่? ในบางแง่มุมคำถามนี้นำไปสู่ทฤษฎีประเภท homotopy และสัจพจน์ Univalence (ซึ่งขัดกับเอกลักษณ์ของอัตลักษณ์) ความเป็นเอกลักษณ์ของการพิสูจน์เอกลักษณ์นั้นไม่สามารถทำได้ในทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณของ Martin-Löfที่แสดงโดย Hofmann และ Streicher ใน: "การตีความกลุ่มของทฤษฎีประเภท" ผลลัพธ์นี้ยังแสดงให้เห็นว่าการจับคู่รูปแบบไม่ใช่ส่วนขยายเชิงอนุรักษ์ของทฤษฎีประเภทดั้งเดิม