เหนือ #P และนับปัญหาการค้นหา

ฉันอ่านบทความวิกิพีเดียเกี่ยวกับปัญหาแปดราชินี มันระบุว่าไม่มีสูตรที่รู้จักกันสำหรับจำนวนที่แน่นอนของการแก้ปัญหา หลังจากการค้นหาบางอย่างฉันพบกระดาษชื่อว่า "ความแข็งของการนับปัญหาของการแมปทั้งหมด" ในบทความนี้มีปัญหาแสดงให้เห็นว่าเป็นอย่างมากที่สุดเท่าที่ #queens ซึ่งเกิน #P รับเหลือบตัวเลข #queens นับละเอียดในบทความ wikipedia พวกเขาดูเหมือน exponential สุดสวยมาก

ฉันต้องการถามถ้ามีชื่อสำหรับชั้นนี้หรือโดยทั่วไปมีการนับปัญหาที่เป็นของชั้นเรียนด้านบน #P (ด้วยการตัดสินใจที่ไม่ได้อยู่ใน PSPACE แน่นอนเพราะมันจะเห็นได้ชัด)

ในที่สุดฉันต้องการถามว่ามีผลลัพธ์ที่รู้จักอื่น ๆ สำหรับปัญหาการค้นหาอื่น ๆ เช่นการหาจุดสามสีใน Lemma ของ Sperner หรือไม่ (PPAD สมบูรณ์)

ถ้าฟังก์ชัน f อยู่ใน #P ให้แล้วสายป้อน x บางยาว N, ค่า f (x) เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบล้อมรอบด้วย ) (สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความในแง่ของจำนวนการยอมรับพา ธ ของตัวตรวจสอบ NP)$2^{poly(N)}$

ซึ่งหมายความว่าการทำงานหลายฉนอกโกหกของ #P สำหรับจืดเหตุผล --- ทั้งเพราะฉเป็นลบหรือในกรณีที่คุณพูดถึงเพราะฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วกว่า ) แต่สำหรับปัญหาn -queens ตามที่จำลองไว้ในกระดาษนี่เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของการตัดสินใจของผู้เขียนเพื่อให้ค่าอินพุตnถูกเข้ารหัสในไบนารี ถ้าอินพุตที่คาดไว้เป็นสตริงที่มีค่าน้อย1 nดังนั้นf ( 1 n ) : = (จำนวนที่ถูกต้อง$2^{poly(N)}$$n$$n$$1^n$$f(1^n) :=$$n$-queen configuration) จะอยู่ใน #P แน่นอนโดยตัวตรวจสอบ NP อย่างง่ายที่ตรวจสอบความถูกต้องของการกำหนดค่าที่กำหนด

หากคุณต้องการสำรวจฟังก์ชั่นบางอย่างที่อยู่นอก #P ด้วยเหตุผลที่น่าสนใจลองพิจารณาเช่น:

• UNSAT: ถ้าψเป็นสูตรแบบบูล unsatisfiable มิฉะนั้นฉ( ψ ) : = 0 ฟังก์ชันนี้ไม่ได้อยู่ใน #P ยกเว้นว่า NP = coNP มันอาจไม่ได้อยู่ใน GapP ของการนับทั่วไปมากขึ้นเช่นกัน นั่นคือ UNSAT อาจไม่ใช่ความแตกต่าง f - g ของฟังก์ชัน #P สองฟังก์ชัน อย่างไรก็ตามมันอยู่ในคลาสP # P ที่ซับซ้อนกว่าการนับทั่วไปซึ่งในความเป็นจริงมีพหุนามพหุนามตามทฤษฎีบทของโทดะทั้งหมด$f(\psi) := 1$$\psi$$f(\psi) := 0$$P^{\# P}$

คุณอาจไม่ชอบตัวอย่างนั้นเพราะมันไม่ใช่ "ปัญหาการนับ" อย่างเป็นธรรมชาติ แต่สองต่อไปจะเป็น:

• จำนวนที่ได้รับมอบหมายเพื่อ xดังกล่าวว่าสูตรบูลีน ψ ( x , ⋅ )คือพอใจสำหรับการตั้งค่าบางอย่างเพื่อY$f(\psi(x, y)) :=$$x$$\psi(x, \cdot)$$y$

• จำนวนของ xดังกล่าวว่าอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของทุกปี , ψ ( x , Y ) = 1$f(\psi(x, y)) :=$$x$$y$$\psi(x, y) = 1$

ไม่พบปัญหาสองข้อหลังที่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพแม้เมื่อใช้ oracle ในการเข้าถึง #P อย่างไรก็ตามพวกมันสามารถคำนวณได้ใน "ลำดับชั้นการนับ" สำหรับปัญหาที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นบางจัดภายในชั้นนี้เห็นเช่นนี้กระดาษที่ผ่านมา

นับแนชสมดุลเห็นได้ชัดคือ # P-ยากดูที่นี่ นอกจากนี้แม้ปัญหาที่ปัญหาการค้นหานั้นง่าย #P ยากที่จะนับเช่นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ

$\#PSPACE$$\#EXPTIME$

ความซับซ้อนของการนับจำนวนโมเดลของ Temporal Logic เชิงเส้นเวลาโดย Hazem Torfah, Martin Zimmermann