Cheeger คงที่

ฉันได้อ่านในบทความมากมายที่ระบุค่าคงที่ Cheeger ของกราฟคือ $\mathsf{NP}$ -hard ดูเหมือนว่าจะเป็นทฤษฎีบทพื้นบ้าน แต่ฉันไม่เคยพบคำพูดหรือข้อพิสูจน์สำหรับคำสั่งนี้ ฉันควรให้เครดิตกับใคร ในกระดาษเก่า (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar เพียงพิสูจน์การยืนยันนี้ "สำหรับกราฟที่มีหลายขอบ"

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
แหล่งที่มา

คำตอบ:

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ) ฉันไม่สามารถคิดออกได้ในขณะที่สิ่งที่พวกเขาอ้างถึงเนื่องจากไม่มีการกล่าวถึงการขยายขอบในกระดาษที่อ้างถึง ฉันสื่อสารกับ Avi Wigderson เกี่ยวกับเรื่องนี้ ในที่สุดมันก็ปรากฏขึ้นว่าเราสามารถใช้ความแข็งของ Max-Cut ดังที่แสดงในกระดาษของ Garey et al เพื่อแสดงให้เห็นอย่างง่ายดายว่าการขยายขอบนั้นยาก ฉันลืมรายละเอียดตอนนี้ แต่ไม่ควรสร้างใหม่ได้ยาก กระดาษของ Blum etal บนความแข็งของการตรวจสอบว่ากราฟเป็น superconcentrator ไม่ได้หมายความถึงความแข็งของการขยายขอบโดยตรง ในทางเทคนิคแล้วมันไม่ใช่ปัญหาเดียวกัน

— จันทรา Chekuri
แหล่งที่มา

กระดาษที่ใช้ความแข็งขยายตัวขอบเป็นหนึ่งดังต่อไปนี้onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract เราอ้างถึงกระดาษ Leighton-Rao และของ Garey, Johnson, Stockmeyer สำหรับความแข็งของการขยายขอบ

— จันทรา Chekuri

ขอบคุณ! ดังนั้นเทคนิคการพูดความแข็งของการกำหนดค่าคงที่ Cheeger จึงไม่ได้รับการพิสูจน์ในวรรณกรรม?

— Delio M.

@DelioM การอ้างอิง Kaibel ในหนึ่งในคำตอบของโมฮัมหมัดมีหลักฐานที่สมบูรณ์ มันเป็นเพียงการลด Garey-Johnson-Stockmeyer จากการตัดสูงสุดที่ไม่ได้ถ่วงไปจนถึงการแบ่งออกเป็นสองส่วนพร้อมหลักฐานสั้น ๆ ว่าในกราฟที่ผลิตโดยการลด

— Sasho Nikolov

แม้ว่าฉันจะต้องสารภาพว่าฉันหลงทาง ฉันมักจะคิดว่า max-cut นั้นเกี่ยวข้องกับปัญหาของการอธิบายลักษณะ "bipartite" เป็นอย่างไร วิธีนี้ช่วยในการค้นหากราฟว่า "มีการเชื่อมต่ออย่างไร" เมื่อเท่ากันแล้วค่าลักษณะเฉพาะต่ำสุดที่สองของ Laplacian ที่ไม่มีนัยสำคัญสามารถรวมค่าลักษณะเฉพาะต่ำสุดที่สองของ laplacian ได้อย่างไร การถือขอบเขตล่างนั้นชัดเจน แต่เป็นขอบเขตสูงสุดใช่ไหม

— Delio M.

@DelioM แม็กซ์ตัดจะลดลงครั้งแรกที่มิน Bisection โดยการเพิ่มมากขึ้นจุดและการเติมเต็มของกราฟที่เกิด ดังนั้นการลดลงนี้เกี่ยวข้องกับความใกล้ชิดกับกราฟสองฝ่ายคือการเชื่อมต่อกราฟอื่น (เกี่ยวข้องกับส่วนประกอบแรก)

n

$n$

— Sasho Nikolov

หลักฐานที่แท้จริงของทนทานของการคำนวณค่าคงที่ Cheeger (หรือการขยายขอบ) ได้รับจากKaibel ในรายงานทางเทคนิคโดยการลดจากปัญหา MAX Cut (ดูทฤษฎีบท 2) หลักฐานที่เป็นส่วนขยายของหลักฐานของ -hardness ของปัญหา equicut ที่กำหนดโดยGarey จอห์นสันและ Stockmeyer ในง่ายปัญหากราฟบาง $NP$ $NP$

V. Kaibel: ในการขยายกราฟของ 0/1-polytopes รายงานทางเทคนิค arXiv: math.CO/0112146, 2001

แก้ไข : ข้อโต้แย้งด้านล่างไม่ถูกต้องตามที่ชีกีริชี้ให้เห็นและออกเพื่อการศึกษา

นี่ไม่ใช่ข้อมูลอ้างอิงตามที่คุณร้องขอ แต่อธิบายสถานะคติชนวิทยาของผลความแข็ง

นี่เป็นแนวคิดที่พิสูจน์ถึงความสมบูรณ์ของ CoNP ในการตัดสินใจว่ากราฟลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อนั้นเป็นตัวขยายขอบหรือไม่ดังนั้นการพิจารณาค่าคงที่ของ Cheegerเป็น CoNP-hard $h(G)$

ปัญหาขั้นต่ำ bisection เป็นที่สมบูรณ์ $NP$ สำหรับการเชื่อมต่อลูกบาศก์กราฟ ที่นี่เราต้องการที่จะตัดสินใจว่ากราฟกับจำนวนเต็มสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนขนาดเท่ากันดังกล่าวว่าจำนวนของการตัดขอบน้อยกว่าk $G$ $k$ $k$

โปรดสังเกตว่าส่วนประกอบของปัญหานี้เทียบเท่ากับการตัดสินใจว่ากราฟเป็นตัวขยายหรือไม่ (ทุกพาร์ติชันที่สมดุลของตัดขอบมากกว่า ) $G$ $V$ $k$

PS Arora ในการสัมมนาครั้งนี้ระบุว่าเป็นยากที่จะรับรู้ -expander กราฟ (การขยายขอบ) http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

การพิสูจน์นี้ไม่ได้ผลเช่นกันเนื่องจากขนาดของการแบ่งเป็นสองส่วนไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับการขยายขอบด้วยตัวเอง ยกตัวอย่างเช่นกราฟต่อบนจุดสามารถมี bisection ขั้นต่ำ 2

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

กราฟเชื่อมต่อลูกบาศก์กราฟและสำหรับปัญหาการแบ่งส่วนต่ำสุดของคลาสนี้คือ NP-complete

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov ฉันไม่เคยเห็นใครสนใจในการขยายกราฟที่ไม่ได้เชื่อมต่อ

— Mohammad Al-Turkistany

Arora ไม่ใช่ Aurora ฉันไม่สงสัยเลยว่าการตัดสินใจนั้นยากที่จะ coNP แต่ในสองคำตอบคุณไม่ได้ให้การอ้างอิงกับการพิสูจน์หรือการพิสูจน์ กราฟที่ตัดการเชื่อมต่อเป็นเพียงการแสดงให้คุณเห็นว่าข้อโต้แย้งของคุณเป็นของปลอม dos ของคุณ "แก้ไข" ไม่ทำงานเช่นกัน ฉันสามารถแสดงกราฟลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อคุณได้อย่างง่ายดายด้วยการแบ่งครึ่งขั้นต่ำขนาดใหญ่และค่าคงที่ Cheeger โดยพลการใกล้กับศูนย์ ปัญหาทั้งสองเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่ในลักษณะที่คุณแนะนำ

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany: นำกราฟบริดจ์ bridgeless ลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อสองอันที่เป็นส่วนขยายที่มีจุดยอด 2n และอีกจุดด้วย n จุดยอดและเชื่อมต่อพวกเขาด้วยสามขอบโดยเพิ่มจุดยอด 3 จุดใหม่ในแต่ละด้านผ่านการแบ่ง 3 ขอบ ทีนี้ min-bisection จะมีขนาดใหญ่ ( ) เพราะคุณต้องตัดส่วนขยายที่ดีออกไป แต่การขยายตัวนั้นเล็กเพราะคุณสามารถแยกตัวขยายสองตัวได้โดยตัดเพียง 3 ขอบ

Ω (n)

$\Omega(n)$

— จันทรา Chekuri