จะมีอัลกอริธึมพิเศษสำหรับ PLANAR SAT ที่เป็นที่รู้จักหรือไม่?

ปัญหา NP-hard บางอย่างที่อธิบายบนกราฟทั่วไปนั้นเป็นเอ็กซ์โพแนนเชียลในกราฟระนาบเนื่องจากความว่องไวมากที่สุดและพวกมันเป็นเลขชี้กำลังในความกังวล $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

โดยทั่วไปฉันสนใจหากมีอัลกอริทึม subexponential สำหรับ PLANAR SAT ซึ่งเป็น NP-complete

Letจะเป็นสูตร CNF กับตัวแปรและ ข้อ -th เป็นC_i $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

อุบัติการณ์กราฟพี 5 ของอยู่บนจุด และขอบ IFFหรือC_i $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

$\phi$ อยู่ใน PLANAR SAT หากกราฟอัตราการเกิดเป็นภาพถ่าย

มีอัลกอริทึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับ PLANAR SAT ในแง่ของหรือไม่? $\phi$

ฉันไม่ได้ยกเว้นการลดความเป็นไปได้ SAT ไปยัง PLANAR SAT เพื่อให้เป็นไปได้แม้ว่า SAT จะยังคงเป็นเลขชี้กำลังและเป็นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเนื่องจากการเพิ่มขนาด $\phi$

graph-theory sat reductions

— Joro
แหล่งที่มา

มีเงื่อนไขพิเศษในคำจำกัดความของ PLANAR SAT ตัวแปรจะต้องเชื่อมต่อกับวงจรผ่านพวกเขา สิ่งที่คุณอธิบายไว้เรียกว่า PLANAR * SAT

— domotorp

@domotorp ฉันคิดว่าฉันอ้างถูกต้องและกระดาษอ้างว่ากราฟนั้นมีสองฝ่าย ในเอกสารอื่นอาจใช้ชื่อเดียวกันกับสิ่งอื่น

— joro

คุณสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทตัวคั่นระนาบร่วมกับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและใช้เวลาโดยที่คือจำนวนของจุดยอดในกราฟ ฉันคิดว่าคุณต้องการสิ่งที่ดีกว่า

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

@ SarielHar-Peled Yours จะเป็นคำตอบไม่ต้องการสิ่งที่ดีกว่า (แม้ว่าจะดีกว่ายินดีต้อนรับ) Bugs ฉันสูตรที่แตกต่างอาจมีกราฟเดียวกัน - ลบล้างตัวอักษร

— joro

การลดมาตรฐานจาก SAT เป็นระนาบ SAT แสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นไปไม่ได้เป็นไปไม่ได้ดังนั้นอัลกอริทึมจากความคิดเห็นของซาเรียลจึงเหมาะสมที่สุดในค่าคงที่ (นี่คือสิ่งที่ domotorp เรียกว่า PLANAR * SAT แต่ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าขอบเขตล่างสามารถแสดงได้สำหรับ PLANAT SAT ด้วย)

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

— daniello

คุณสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทตัวคั่นระนาบร่วมกับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและใช้เวลาโดยที่คือจำนวนของจุดยอดในกราฟ แนวคิดที่ว่าคุณลองใช้การกำหนดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับจุดยอดตัวแปรบนตัวคั่นและตัวแปรทั้งหมดที่กล่าวถึงในส่วนคำสั่งในตัวแยก (สมมติว่าแต่ละข้อมีจำนวนตัวแปรจำนวนคงที่) $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

ถ้าโหนดส่วนคำสั่งมีขนาดใหญ่คุณจำเป็นต้องฉลาดกว่านี้อีกเล็กน้อย - คุณต้องเดาว่าจะกำหนดมันให้กับปัญหาย่อยทางด้านซ้ายหรือด้านขวา รายละเอียดของสิ่งต่าง ๆ มีแนวโน้มที่จะยุ่งและไม่ฉับพลันดังนั้นฉันจะไม่ให้รายละเอียดเพิ่มเติม ฉันคิดว่าเอกสารต้นฉบับโดย Lipton และ Tarjan แก้ปัญหาคล้ายกันโดยใช้แนวคิดที่คล้ายกันหากหน่วยความจำของฉันทำหน้าที่ฉันถูก

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปเป็นที่ทราบกันดีว่าหากกราฟการเกิดของสูตร SAT มีความน่าเชื่อถือมากที่สุดจะสามารถตรวจสอบความน่าเชื่อถือได้ในเวลา กราฟระนาบที่มีจุดยอดรับประกันว่าจะมีความน่าเชื่อถือเนื่องจากทฤษฎีบทตัวคั่นระนาบ โดยทั่วไปกราฟที่ยกเว้นกราฟคงมีเล็ก ๆ น้อย ๆ มี treewidthที่คงที่ขึ้นอยู่กับขนาดของH

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— จันทรา Chekuri

แน่นอนถ้าสูตรมีตัวแปรและคำสั่งแล้ว treewidth เป็นที่มากที่สุด (เมื่อเทียบกับน้ำมันดิบเพิ่มเติมผูกพัน) ที่ถูกผูกไว้บนหมวกดังนี้จากความเป็นจริงตัวแปรที่มีฝาครอบจุดสุดยอดของกราฟอุบัติการณ์และกราฟระนาบที่มีฝาครอบจุดสุดยอดขนาดมี treewidth{n})

n

$n$

m

$m$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— daniello

นี้ยังเป็นออกกำลังกาย 41 Woeginger 2003 อัลกอริทึมที่แน่นอนสำหรับ NP-ฮาร์ดปัญหา: การสำรวจ dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon