การทดสอบคุณสมบัติสำหรับชุดอิสระ

สมมติว่าเราได้รับกราฟ $G$ และพารามิเตอร์ $k,\epsilon$. มีช่วงของค่าสำหรับ$k$ (หรือเป็นไปได้สำหรับทุกคน $k$) ซึ่งเป็นไปได้ที่จะทดสอบว่า $G$ คือ $\epsilon$- ห่างจากการมีชุดขนาดอิสระอย่างน้อยที่สุด $k$ ภายในเวลาที่กำหนด $O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$ ?

หากเราใช้ความคิดตามปกติของ $\epsilon$- ไกล (เช่นที่มากที่สุด $\epsilon n^2$ ขอบจะต้องมีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ชุดดังกล่าว) จากนั้นปัญหาเป็นเรื่องไม่สำคัญสำหรับ $k = O(n\sqrt{\epsilon})$. ดังนั้น

• ดูเหมือนว่าถ้า $k$มีขนาดใหญ่แนวคิดการสุ่มตัวอย่างบางอย่างควรแก้ไขปัญหา มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?
• มีความคิดอื่น ๆ $\epsilon$- ไกล (เช่นอาจจะ $\epsilon |E|$ ขอบแทน) ภายใต้ซึ่งมีผลที่ไม่น่าสนใจ?

โดยทั่วไปฉันกำลังมองหาการอ้างอิง ณ จุดนี้

ปัญหานี้ได้รับการศึกษาอย่างแน่นอน Goldreich, Goldwasser และ Ron ได้ทำการศึกษาในกระดาษเซมิไฟนอลของพวกเขาซึ่งเริ่มต้นการทดสอบคุณสมบัติกราฟแล้ว Feige, Langberg และ Schechtman ก็มีผลในกระดาษ FOCS '02ของพวกเขา"กราฟที่มีจำนวนสีเวกเตอร์ขนาดเล็กและตัวเลขรงค์ขนาดใหญ่" .

โดยเฉพาะ [FLS '02] แสดงว่าสามารถแยกความแตกต่างระหว่างกราฟด้วยชุดขนาดอิสระ $\rho n$ จากกราฟ $\epsilon$- ไกลจากการเป็นเช่นนั้น (ความหมายอย่างน้อย $\epsilon n^2$ จำเป็นต้องลบขอบเพื่อสร้างชุดอิสระดังกล่าว) โดยเลือกกราฟย่อยแบบสุ่มที่เกิดจาก $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ จุดยอดแบบสุ่มในกราฟและตรวจสอบว่ากราฟย่อยแบบสุ่มมีขนาดที่เป็นอิสระหรือไม่ $\rho s$หรือไม่. ([GGR '98] แสดงว่าอ่อนแอลง$s$ ของ $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$.) [FLS '02] แสดงขอบเขตล่างด้วย $s$ ของ $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$.

นิยามธรรมชาติอีกประการหนึ่งของ $\epsilon$- ใกล้กับชุดอิสระกำลังเปลี่ยนแปลง $\epsilon k^2$ขอบ น่าเสียดายที่การทดสอบคุณสมบัติคำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม เหตุผลก็คือไม่มีใครรู้วิธีที่จะหากลุ่มที่ปลูก (และชุดอิสระที่คล้ายกัน) ของ$o(\sqrt{n})$ จุดยอดในกราฟสุ่มของ $n$ vertices เร็วกว่า $n^{O(\log n)}$เวลา. เราสามารถแสดงให้เห็นว่ากราฟย่อยที่มีความหนาแน่นน้อยกว่าค่าเฉลี่ยสามารถใช้ในการค้นหากลุ่มที่ปลูกในเวลาพหุนาม นี่เป็นหลักฐานว่ามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับตัวแปรของปัญหานี้สำหรับ$k$ ระหว่าง $\log n$ และ $\sqrt{n}$.

การอ้างอิง: Feige และ Krauthgamer การค้นหาและรับรองกลุ่มที่ซ่อนอยู่ขนาดใหญ่ในกราฟ semirandom, 1999